Solución:
No hay diferencia entre la suma directa y el producto directo para un número finito de términos, independientemente de si los términos en sí son de dimensión infinita o no. Sin embargo, son diferentes en el caso de un número infinito de términos (y drásticamente).
Un producto directo $ prod_ {i = 1} ^ infty V_i $ puede considerarse como el conjunto de secuencias $ (v_1, v_2, ldots) $ donde cada $ v_i en V_i $, con la multiplicación escalar habitual $ lambda (v_1, v_2, ldots) = ( lambda v_1, lambda v_2, ldots) $ y suma puntual $ (v_1, v_2, ldots) + (w_1, w_2, ldots) = (v_1 + w_1, v_2 + w_2, ldots) $. La suma directa $ bigoplus_ {n = 1} ^ infty V_i $ por otro lado es el mismo conjunto, con el condición adicional que sólo un número finito de términos son distintos de cero.
La suma directa se comporta muy bien en términos de bases. Si cada $ V_i $ tiene un conjunto de bases $ B_i subseteq V_i $, entonces la suma directa $ bigoplus_ {n = 1} ^ infty V_i $ tiene una base identificada con $ bigsqcup_ {i = 1} ^ infty B_i PS Por ejemplo, si todo $ V_i = mathbb {R} $, entonces la base para el producto directo es simplemente poner un 1 en el lugar $ i $ ésimo para todos los $ i $: $ (1, 0, 0, ldots ), (0, 1, 0, 0, ldots), ldots $. En particular, si todos los $ V_i $ son dimensiones contables, la suma directa también es dimensión contable.
Con el producto directo, este no es el caso. No es tan difícil de ver (estoy seguro de que hay muchas respuestas en este sitio) que el espacio de secuencias de números reales $ prod_ {i = 1} ^ infty mathbb {R} $ tiene una dimensión incontable superior a $ mathbb {R} $.
Finalmente, no hay tanta sutileza en lo que significa ser la base de un espacio dimensional infinito. Una base es un subconjunto linealmente independiente $ B subseteq V $ tal que cualquier vector $ v en V $ puede escribirse como un finito combinación lineal de vectores base. Esta es quizás la mejor manera de pensar en la diferencia entre suma directa y producto: comience a intentar escribir un sistema de elementos que pueda expresar cualquier secuencia real como un finito combinación lineal, y pronto verá que en muchos casos, una suma directa puede haber sido lo que pretendía todo el tiempo.
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$ V times W $ y $ V oplus W $ son isomorfos, al igual que cualquier suma / producto finito de espacios. Esto es cierto para cualquier categoría de módulos.
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Cuando $ I $ es infinito $ bigoplus_ {i in I} V_i $ y $ times_ {i in I} V_i $ pueden ser muy diferentes. Por ejemplo, cuando $ V_i = F_2 $ el campo de dos elementos, y $ I = mathbb N $, entonces el de la izquierda es contable mientras que el de la derecha es incontable. Entonces, obviamente, no pueden ser isomórficos. Creo que este es probablemente siempre el caso de alguna aritmética cardinal, pero en este mismo momento no puedo decirlo definitivamente.
La definición de suma directa finita y la definición de producto directo finito es exactamente la misma definición. (A menos que esté trabajando en categorías y entonces las definiciones no sean las mismas, pero como espacios vectoriales son isomorfos).
La suma directa infinita de $ {V_i } _ {i in I} $ es el conjunto de todos finito sumas de vectores, mientras que el producto directo es como un conjunto, el producto de todos $ V_i $, por lo que, en particular, la suma directa no contiene el elemento $ (1,1,1,1, ….) $ mientras que el producto directo lo hace.
Para sus preguntas
1) V y W son de dimensión infinita, pero dado que solo toma la suma / producto directo una vez que las definiciones son iguales.
2) No, porque el elemento (1,1,1,1, …) no es un elemento en la suma directa, pero es un elemento en el producto directo.