Ten en cuenta que en la informática cualquier problema casi siempre tiene diferentes soluciones, así que nosotros te compartimos lo más óptimo y mejor.
Solución:
Si $x_N − fracepsilon3 vale para todos $k>N$después $ x_N-fracepsilon3≤ inf_k≥N x_k$ y $ sup_k≥N x_k ≤ x_N + fracepsilon3.$ Combina estos dos, para obtener la desigualdad socavada y luego el resto de la prueba. Tenga en cuenta que ha utilizado el genérico $n$, lo cual no es del todo correcto. Las desigualdades se suceden una tras otra, por $k>N$que solucionaste anteriormente.
Tal vez una prueba más detallada ayude con las ideas:
$(1).$ Ya que $(x_n)$ es Cauchy, es acotado. Y es mucho más fácil ver esto simplemente tomando $épsilon=1$ y encontrar un entero $N$ tal que $n,m>NFlecha derecha |x_n-x_m|<1$. Después, $|x_n|
$(2).$ Ya que $(x_n)$ es acotada, tiene una subsecuencia convergente (daré una demostración de esto al final). Asi que,
$(3).$ Dejar $x_n_ka x$. Entonces, hay un número entero $K$ tal que si $k>K, |x-x_n_k|
Prueba de $(2):$ Dejar $(x_n)$ ser una sucesión acotada. Entonces existe algo $ millones > 0 $ tal que $|x_n| le M$ para todos los enteros $n$. bisecar el intervalo ps[−M, M]ps en dos intervalos cerrados de igual longitud. Uno de estos intervalos debe contener un número infinito de $x_n.$ Dejar $I_1$ sea ese intervalo, y elija $x_n_1en I_1$. Ahora, bisecar $I_1$ en dos intervalos cerrados. Dejar $I_2$ Sea el subintervalo de $I_1$ que contiene infinitamente muchos $x_n$y elige uno, $x_n_2neq x_n_1$ tal que $n_2>n_1$ (¿Por qué es esto posible?). En general, habiendo construido $I_j:I_jsubconjunto I_j-1, 1le jle k-1$bisecar $I_k−1$ en dos intervalos cerrados, uno de los cuales debe contener infinitos términos de $(x_n).$ Dejar $I_k$ sea este intervalo cerrado, y elija $x_n_ken I_k$ tal que $n_k > n_k−1.$ Por lo tanto, procede la inducción y obtenemos una subsucesión $(x_n_k)$ y una secuencia de intervalos anidados $I_k_k$ cuyos diámetros $|I_k|=Mcdot left(frac12right)^k-1$ tiende a $0$ como $kainfty.$ Este hecho, y la propiedad del intervalo anidado, implican que la intersección $gran capitalización I_k$ contiene exactamente un punto $x$. Ahora deja $épsilon>0$ y elige $K$ tal que $Mcdot left(frac12right)^K-1
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