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Problemas con la prueba del criterio de convergencia de Cauchy

Ten en cuenta que en la informática cualquier problema casi siempre tiene diferentes soluciones, así que nosotros te compartimos lo más óptimo y mejor.

Solución:

Si $x_N − fracepsilon3 vale para todos $k>N$después $ x_N-fracepsilon3≤ inf_k≥N x_k$ y $ sup_k≥N x_k ≤ x_N + fracepsilon3.$ Combina estos dos, para obtener la desigualdad socavada y luego el resto de la prueba. Tenga en cuenta que ha utilizado el genérico $n$, lo cual no es del todo correcto. Las desigualdades se suceden una tras otra, por $k>N$que solucionaste anteriormente.

Tal vez una prueba más detallada ayude con las ideas:

$(1).$ Ya que $(x_n)$ es Cauchy, es acotado. Y es mucho más fácil ver esto simplemente tomando $épsilon=1$ y encontrar un entero $N$ tal que $n,m>NFlecha derecha |x_n-x_m|<1$. Después, $|x_n|

$(2).$ Ya que $(x_n)$ es acotada, tiene una subsecuencia convergente (daré una demostración de esto al final). Asi que,

$(3).$ Dejar $x_n_ka x$. Entonces, hay un número entero $K$ tal que si $k>K, |x-x_n_k|. y hay un entero $N$ tal que si $n>N, |x_m-x_n| Ahora, elige un número entero. $l>K$ tal que $n_l>N$. Entonces sí $n>N, |x_n-x|le |x-x_n_l|+|x_n-x_n_l|

Prueba de $(2):$ Dejar $(x_n)$ ser una sucesión acotada. Entonces existe algo $ millones > 0 $ tal que $|x_n| le M$ para todos los enteros $n$. bisecar el intervalo ps[−M, M]ps en dos intervalos cerrados de igual longitud. Uno de estos intervalos debe contener un número infinito de $x_n.$ Dejar $I_1$ sea ​​ese intervalo, y elija $x_n_1en I_1$. Ahora, bisecar $I_1$ en dos intervalos cerrados. Dejar $I_2$ Sea el subintervalo de $I_1$ que contiene infinitamente muchos $x_n$y elige uno, $x_n_2neq x_n_1$ tal que $n_2>n_1$ (¿Por qué es esto posible?). En general, habiendo construido $I_j:I_jsubconjunto I_j-1, 1le jle k-1$bisecar $I_k−1$ en dos intervalos cerrados, uno de los cuales debe contener infinitos términos de $(x_n).$ Dejar $I_k$ sea ​​este intervalo cerrado, y elija $x_n_ken I_k$ tal que $n_k > n_k−1.$ Por lo tanto, procede la inducción y obtenemos una subsucesión $(x_n_k)$ y una secuencia de intervalos anidados $I_k_k$ cuyos diámetros $|I_k|=Mcdot left(frac12right)^k-1$ tiende a $0$ como $kainfty.$ Este hecho, y la propiedad del intervalo anidado, implican que la intersección $gran capitalización I_k$ contiene exactamente un punto $x$. Ahora deja $épsilon>0$ y elige $K$ tal que $Mcdot left(frac12right)^K-1 Entonces sí $k>K, x_n_ken I_k$ y $|I_k| Pero, $x$ está contenido en $textitcada I_k$ asi que $|x_n_k-x| Resulta que $x_n_ka x.$

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