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Solución:
Para la parte 1 de la pregunta, lo más probable es que haya utilizado la fórmula de suma de Euler-Maclaurin
$$ sum_n=1^inftyfrac1e^nt – 1 = int_1^inftyfracdxe^xt – 1 + frac12frac1e^t – 1 + int_1^inftyS(x)left(fracddx frac1e^xt – 1right)dx $$
con $S(x)$ la función de diente de sierra. Es fácil obtener el término principal, porque proviene de la primera integral
$$ int_1^inftyfracdxe^xt – 1 = frac1tint_t^inftyfracdu e^u – 1 $$
por el cambio de variable $u = xt$. Tenemos
$$ int_t^inftyfracdue^u – 1 = int_t^1fracdue^u – 1 + int_ 1^inftyfracdue^u – 1, $$ y $$ frac1e^u – 1 = frac1u + left( frac1e^u – 1 – frac1uright) $$ en $0 leq u leq 1$, de modo que $$ g(t) = frac1 tlogleft(frac1tright) + Oleft(frac1tright). $$ Pero obtener el segundo término parece más difícil, porque la integral con la función de diente de sierra contribuye a ese término. Para ir más allá, uno puede integrar por partes en esa integral, que es el enfoque estándar, o escribirla como una suma de integrales en los intervalos de $n$ a $n+1$. Además, la función de diente de sierra tiene una expansión de Fourier simple, que puede ayudar. Debo señalar que la integral con la función de diente de sierra es $O(1/t)$ como se ve al acotarla pasando el valor absoluto bajo el signo de integral y usando $|S(x)| leq 1/2$. De todos modos, estoy bastante seguro de que la parte 1 es factible con algo de trabajo.
La parte 2 parece más complicada. La expansión de la serie Lambert
$$ sum_n=1^infty(1 + mu(n))e^-nt = frace^-t1 – e^-t + e^-t = frac1t + frac12 + O(|t|) $$
es un poco mejor que el de la función divisor; los coeficientes no solo son no negativos, sino que también están acotados. Suponiendo que tenemos un teorema de Tauber lo suficientemente fuerte como para producir
$$ sum_n leq x(1 + mu(n)) sim x, $$
entonces habríamos demostrado el Teorema de los números primos de la serie de Lambert. Parece un poco improbable que Dirichlet tuviera un teorema de Tauber tan fuerte; ¿No habría probado el teorema de los números primos si lo hubiera hecho? Por supuesto, este argumento por analogía no es concluyente, ya que las dos situaciones difieren por un factor de $log(x)$.
Nunca sabremos qué argumento tenía Dirichlet, y es posible que haya encontrado un enfoque que no utilizó un teorema de Tauber, quizás explotando propiedades especiales de la función divisoria. Vale la pena señalar que la primera prueba de Voronoi del término de error $O(x^1/3log(x))$ para el problema del divisor se basó en la fórmula de suma de Euler-Maclaurin.
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