Bienvenido a nuestro espacio, ahora vas a hallar la solucíon que estás buscando.
Solución:
Si elige las bolas sin reemplazo, entonces puede tratar este problema con combinaciones (ya que no importa en qué orden elija las bolas).
Hay $_10C_3$ formas de sacar tres bolas.
Para elegir tres colores diferentes, elige los colores ($_5C_3$) y luego elige qué bola de cada color ($8$). Esto da una probabilidad de $8cdot (_5C_3) / (_10C_3)$.
Para elegir dos colores diferentes, elige el color con dos bolas ($5$) y elige la otra bola ($8$). Entonces, probabilidad $5 cdot 8 / (_10C_3).$
Este método funciona para cualquier número de colores y cualquier número de bolas por color, siempre y cuando el número de bolas por color es el mismo. Si permite diferentes números de bolas de colores particulares, deberá tratar esos casos de manera diferente.
No creo que haya una fórmula de cocina para todo: todo es cuestión de contar. Primero contamos los escenarios posibles, y luego los que están a nuestro favor.
Tenemos $5$ colores: $C_1, C_2,..,C_5$
Elegimos bolas de $3$, ¿de cuántas maneras hay de sacar bolas de $3$ de $10$? $binom103$ escenarios posibles.
Ahora, aquí contamos los escenarios a nuestro favor, es decir $3$ colores diferentes. Primero, debemos elegir $3$ colores para crear un “buen” escenario, por ejemplo: uno rojo, uno azul, uno amarillo. Aquí tenemos $5$ colores y hay $binom53$ formas de elegir tres colores. Para cada color, tenemos dos opciones de bolas, es decir, $2^3$ formas de elegir 3 bolas entre los tres colores elegidos.
El total es entonces $binom53*2^3$ , y la probabilidad es la relación entre el número de buenos escenarios y el número de posibles escenarios $$fracbinom53 *2^3binom103$$
Solo tenga en cuenta “casos favorables divididos por todos los casos” y no se confundirá. En su ejemplo, calculemos la probabilidad de elegir tres colores diferentes. cada bola es buena en la primera selección, por lo que la probabilidad de estar en el camino correcto es $frac1010=1$ (certeza). En la segunda selección, 8 bolas son buenas en un total de 9 bolas, por lo que la probabilidad de estar en el camino correcto se convierte en $1cdotfrac89$. En el tercer sorteo, tienes 6 bolas buenas en 8, por lo que la probabilidad de sacar tres bolas de diferentes colores es $frac89cdotfrac68=frac69 =frac23$. El otro caso posible, es decir, tener ambas bolas del mismo color, es entonces $1-frac23=frac13$. También podemos calcularlo directamente: $frac19$ (probabilidad de sacar dos bolas del mismo color en los dos primeros picks) y $frac89cdotfrac2 8=frac29$ (la probabilidad de elegir dos colores diferentes en las dos primeras selecciones y una repetición en la tercera) es $frac19+frac2 9=frac39=frac13$.
Creo que este razonamiento es mucho más simple que otras respuestas.