Este equipo especializado pasados muchos días de investigación y recopilación de de información, obtuvimos la solución, nuestro deseo es que resulte de gran utilidad para tu plan.
Solución:
Si $B$ se distribuye uniformemente sobre $[0,1]$ y $X=B^2$, el pdf de $X$ se puede calcular a través de:
$$mathbbP[Xleq t] = matemáticasP[Bleqsqrtt], $$ de donde $f_X(x)=fracmathbb1_(0,1)(x)2sqrtx$. De manera similar, si $A,C$ se distribuyen uniformemente sobre $(0,1)$, independientes, y $Y=AC$, $$mathbbP[Yleq t]=int_0^1mathbbPizquierda[Cleqfracturight],du=int_0^1minleft(1,fracturight),du=ttlog(t)$$ por lo tanto $f_Y(y) = -mathbb1_(0,1)(y)cdotlog(y)$. Resulta que:
$$mathbbP[B^2geq 4AC] = int_0^1frac12sqrtxint_0^x/4-log(y),dy,dx =color rojofrac5+6log 236approx 25,44%.$$
Bosquejo de la solución analítica. Una solución analítica se basa en notar que la densidad de $Q = B^2$ es $f(q) = frac12sqrtq,$ para $q in (0,1) ,$ la densidad de $X = 4AC$ es $g(x) = frac-log(x/4)4,$ para $x in (0,4).$
Una integración doble apropiada de la densidad conjunta $h(q, x) = f(q)g(x)$ da $P(textRaíces reales) = P(Q > X) = frac5 + log(64)36 = 0.254413.$ [Note: Details of the integration are shown in Horton (2015) referenced
in the Question, and in a subsequent Answer.]
Simulación. A continuación se muestra una simulación basada en un millón de ecuaciones simuladas.
m = 10^6
a = runif(m); b = runif(m); c = runif(m)
q = b^2; x = 4*a*c
d = q - x # discriminant
real = (d > 0)
mean(real)
## 0.254302 # approximates analytic result
La siguiente figura se basa en 30.000 ecuaciones simuladas. Los histogramas de valores simulados de $Q$ y $X$ muestran las curvas de densidad teóricas. Las líneas marrones en el diagrama de dispersión y el histograma de valores del discriminante $D,$ separan ecuaciones con soluciones reales (azules) y complejas.
Versión discreta alternativa. La siguiente simulación de la versión discreta del problema muestra que un poco más del 20% de las ecuaciones cuadráticas generadas por computadora tienen raíces reales.
m = 10^6; val=seq(.1, 1.0, by=.1)
a = sample(val,m,rep=T)
b = sample(val, m, rep=T)
c = sample(val, m, rep=T)
q = b^2; x = 4*a*c
d = q - x # discriminant
real = (d > 0)
mean(real)
## 0.206176
single = (d == 0)
mean(single)
## 0.007964
El resultado final sugiere que ocho de las 1000 ecuaciones posibles tienen una sola raíz. No es difícil ver que el discriminante puede ser cero solo si $B = .2, .4, .8,$ o $1.0$. A partir de ahí, la aritmética simple muestra que, de hecho, hay ocho combinaciones posibles de valores de $A$ y $C$ que producen $D = 0.$
Una solución analítica completa para la versión discreta parecería implicar una contabilidad tediosa, comenzando con los diez valores posibles de $B^2.$ Tal vez haya una forma inteligente de obtener una solución analítica exacta utilizando circunvoluciones de distribuciones discretas en Matlab.
Alguien preguntó casi esto hace unos días. Quería señalar que un cubo no es la forma más natural a considerar para este problema, aunque fue la elegida. Mejor, en cierto modo, considerar la pelota $A^2 + B^2 + C^2 leq R^2.$ En ese caso tomamos las coordenadas rotadas $$ u = B; v = (A – C)/ raíz cuadrada 2; w = (A + C)/ sqrt 2. $$
Entonces la condición $B^2 geq 4AC$ se convierte en $u^2 + 2 v^2 geq 2 w^2.$ Aquí no importa si usamos el volumen o el área de la superficie, así que estamos preguntando por la superficie total área de los dos parches elípticos peculiares $u^2 + 2 v^2 geq 2 w^2$ en la esfera $u^2 + v^2 + w^2 = 1,$ dividido por $4 pi.$ en pensándolo bien, la figura que queremos es uno menos esto, la divertida región anular.
No estoy seguro de saber cómo calcular esto.
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