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Solución:
Uno de los axiomas de probabilidad es que si $A_1, A_2, dots$ son disjuntos, entonces
$$beginalign mathbbPleft(bigcup_i=1^inftyA_iright) = sumlimits_i=1^inftymathbbP left(A_iright)text.tag* endalign$$
Sucede que esto también es true si tiene un número finito de eventos disjuntos. Si está interesado en más detalles, consulte un libro de texto de probabilidad teórica de medida.
Motivemos la prueba de la probabilidad de la unión de tres eventos usando este axioma para probar la probabilidad de la unión de dos eventos.
Teorema. Para dos eventos $A$ y $B$, $mathbbPleft(A cup Bright) = mathbbP(A) + mathbbP(B) – mathbbP (A cap B)$.
Prueba. Escribe $$A cup B = left(A cap Bright) cup left(A cap B^cright) cup left(A^c cap Bright) text.$$ Observe también que $A = left(A cap B^cright) cupleft(A cap Bright)$ y $B = left(B cap A^cright) cup left(A cap Bright)$.
Como hemos escrito $A$ y $B$ como uniones disjuntas de conjuntos, aplicando[ left(A cap Bright) cup left(A cap B^cright) cup left(A^c cap Bright) right] en el caso finito, tenemos que $$beginalign mathbbPleft(Aright) &= mathbbPleft(A cap B^cright) + mathbbPleft(A cap Bright) \ mathbbPleft(Bright) &= mathbbPleft(B cap A^cright) + mathbbPleft(A cap Bright) \ endalign$$ De manera similar, dado que $A cup B = left(A cap Bright) cup left(A cap B^cright) cup left(A^c cap Bright)$ es una unión disjunta de conjuntos, $$beginalign mathbbPleft(A taza Bderecha) &= mathbbPizquierda
\ &= overbracemathbbPleft(A cap Bright) + mathbbPleft(A cap B^cright)^mathbbP (A) + mathbbPleft(A^c cap Bright) \ &= mathbbPleft(Aright) + overbracemathbbP izquierda(A^c cap Bright)^mathbbP(B)-mathbbP(A cap B) \ &= mathbbPleft(A right) + mathbbPleft(Bright) – mathbbPleft(A cap Bright)text. cuadrado endalign$$
Ahora, armados con el resultado que probamos en el teorema anterior, ahora podemos probar el resultado de la probabilidad de la unión de tres eventos.Teorema
. $mathbbPleft(A cup B cup Cright) = mathbbPleft(Aright) + mathbbPleft(Bright) + mathbbP left(Cright) – mathbbPleft(A cap Bright) – mathbbPleft(A cap Cright) – mathbbPleft(B cap Cright) + mathbbPleft(A cap B cap Cright)$Prueba[left(A cup Bright) cap Cright]. Como $A cup B cup C = left(A cup Bright) cup C$, por el teorema anterior, $$beginalign mathbbPleft(A cup B taza Cright) &= mathbbP((A cup B)cup C) \ &= overbracemathbbPleft(A cup Bright) + mathbbP izquierda(Cderecha) – mathbbPizquierda[overbraceleft(A cap Cright) cup left(B cap Cright)^(A cup B)cap Ctext (distributive property of sets)right] ^textaplicando el teorema anterior a mathbbP((A cup B)cup C) \ &= overbracemathbbPleft(Aright) + mathbbPleft(Bright) – mathbbPleft(A cap Bright)^mathbbPleft(A cup Bright) text del teorema anterior + mathbbPleft(Cright) – mathbbPleft[mathbbPleft(A cap Cright) + mathbbPleft(B cap Cright) – mathbbPleft[left(A cap Cright) cap left(B cap Cright) right]\ &= mathbbPleft(Aright) + mathbbPleft(Bright) – mathbbPleft(A cap Bright) + mathbbP left(Cright) \ &qquad-overbraceBig
![Big]^textaplicando el teorema anterior a mathbbPleft(left(A cap Cright) cup left(B cap Cright)right) text, endalign$$ y como $left(A cap Cright) cap left(B cap Cright) = A cap B cap C$, el resultado está probado . $cuadrado$](https://foroayuda2.foroayuda.es/wp-content/uploads/2023/03/1-big^textaplicando-el-teorema-anterior-a-mathbbpleftlefta-cap-cright-cup.png)
3 juegos
Como en esta fórmula sumas esta parte 3 veces (en los primeros 3 términos) y la restas también 3 veces (en los siguientes 3 términos), tienes que volver a sumarla.
Diagrama de Venn: Unión de 3 eventos Los números en rojo indican cuántas veces se ha incluido/añadido una determinada sección usando $P(A) + P(B) + P(C)$. Las secciones que presentan mas de una vez
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debe restarse del total para encontrar la respuesta final. Las secciones en blanco se agregan una vez.No se requiere resta
-
. Las secciones punteadas (||) representan $P(A cap B cap C^c)$, $P(A cap B^c cap C)$ y $P(A^c cap B cap C)$. cada uno aparece dos veces por lo que cada uno debe ser restadouna vez
-
. La sección punteada (::) representa $P(A cap B cap C)$. aparece tres veces por lo que debe restardos veces
.
Esto produce:
$$P(A taza B taza C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A tapa B tapa C^c) – P(A tapa B^c tapa C) – P(A^c cap B cap C) – 2P(A cap B cap C).$$
Observando de la figura que $$P(A cap B cap C^c) = P(A cap B) – P(A cap B cap C),$$ $$P(A cap B^ c cap C) = P(A cap C) – P(A cap B cap C),$$ $$P(A^c cap B cap C) = P(B cap C) – P(A cap B cap C),$$
La respuesta final está dada por $$P(A cup B cup C ) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A cap B) – P(A cap C) – P(B cap C) + P(A cap B cap C).$$
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