Hemos recabando en todo el mundo online para de esta manera traerte la respuesta para tu problema, si continúas con dudas puedes dejarnos tu comentario y contestamos sin falta, porque estamos para ayudarte.
Solución:
Por los comentarios, parece que desea la mínima matemática posible. Hay 4 cosas que debes saber primero:
Primero, lo que debe saber es que una función de onda cuántica básica se puede imaginar como exactamente una onda sinusoidal:
En segundo lugar, debe saber que el amplitud de la onda a lo largo de un intervalo está relacionada con la probabilidad de medir la posición dentro de ese intervalo. (Esta es una analogía aproximada de lo que hace una función de densidad de probabilidad).
Tercero, el longitud de onda de la onda está relacionada con la medida de su partícula impulso. (Si queremos ser estrictos, debería ser el frecuencia y también debería ser una probabilidad en un intervalo en espacio de frecuencia, pero ayuda imaginarlo con solo una longitud de onda).
En cuarto lugar, puede componer una función de onda cuántica más complicada simplemente sumando ondas de diferentes longitudes de onda. (Esto se llama superposición – mira este gif:
(Imagen de Wikipedia)
Ahora que conoce estas cuatro cosas, estamos listos para abordar la idea del principio de incertidumbre de Heisenberg.
Tenga en cuenta la cuarta cosa que dijimos (re: superposición). Eche un vistazo al gif. ¿Que notaste? Cuando agregamos más y más ondas de diferentes longitudes de onda, comienza a aparecer un prominente pico central.
Ahora recuerda lo segundo que dijimos: amplitud está relacionado con posición. Si tenemos un pico con una amplitud prominente, es más probable que la posición de nuestra partícula se mida dentro de ese pico. Cuanto más prominente sea el pico central, más precisamente podremos predecir la posición de la partícula.
Sin embargo, para que el pico central sea más prominente, tenemos que seguir agregando más ondas de diferentes longitudes de onda. ¿Recuerdas la tercera cosa que dijimos? Longitud de onda está relacionado con impulso. Si seguimos agregando diferentes longitudes de onda, esperamos un rango mayor para medir nuestro impulso, lo que significa que el impulso de nuestra partícula no se puede predecir tan fácilmente. ¡Cuanto más agreguemos ondas de diferentes longitudes de onda, con menor precisión podremos predecir el momento de la partícula!
Y ahí radica el corazón del principio de incertidumbre: Si intenta medir la posición con mayor precisión, medirá el impulso con menos precisión y viceversa..
Entonces, para responder a su pregunta: sí, el principio de incertidumbre es una consecuencia necesaria de la “naturaleza ondulatoria de las partículas”.
Y para responder a su segunda pregunta (¡gracias por mencionarla en los comentarios!): sí, si el electrón fuera una partícula en lugar de un objeto mecánico cuántico, el principio de incertidumbre no sería necesario, o al menos no se aplicaría necesariamente. Esto se debe a que los 4 conceptos básicos detrás del principio de incertidumbre son conceptos de onda únicos, especialmente los conceptos segundo y tercero que son conceptos únicos de función de onda de la mecánica cuántica, ninguno de los cuales se aplica a las partículas.
Corchetes de Lagrange y Poisson: un paso atrás a los reinos clásicos.
Considere dos variables $ q_i, p_i $ dadas como una función de dos parámetros $ u, v ,. $ El Soporte de Lagrange viene dado por $$[~u,, v~] ~ = ~ sum_ i ~ = ~ 1 ^ n left ( frac q_i parcial u parcial frac p_i parcial v parcial – frac q_i parcial parcial v frac parcial p_i parcial u derecha) ,. etiqueta I $$
Ahora, transforme las variables $ q_i, p_i $ a $ Q_i, P_i $ de manera que el corchete de Lagrange en las nuevas variables permanezca invariante. Esto se conoce como transformación canónica.
Supongamos que las viejas variables se expresan en términos de nuevas variables de forma explícita como:
begin align q_i & = f_i (Q_1, ldots Q_n; P_1, ldots, P_n) \ p_i & = f ^ prime _i (Q_1, ldots Q_n; P_1, ldots, P_n) fin alinear
Cualquier par de $ Q_i, Q_k $ o $ P_i, P_k $ o $ Q_i, P_k $ se puede reemplazar con $ u, v $ en $ rm (I) $ considerando las otras variables constantes.
Dado que, en el nuevo sistema de coordenadas, $ Q_i, P_i $ son independientes entre sí, de $ rm (I) $ obtenemos:
$$[~Q_i, ~Q_k~] = 0; qquad[~P_i, ~P_k~] = 0; qquad[~Q_i, ~P_k~] = delta_ ik ,. tag II $$
Ahora, considere $ u, v $ como funciones de $ q_i, p_i $ como:
begin align u & = u (q_1, ldots q_n; p_1, ldots, p_n) \ v & = v (q_1, ldots q_n; p_1, ldots, p_n) end align
Entonces el Soporte de Poisson es dado por
$$ (~ u, , v ~) ~ = ~ sum_ i ~ = ~ 1 ^ n left ( frac parcial u parcial q_i frac parcial v parcial p_i – frac parcial v parcial q_i frac parcial u parcial p_i derecha) ,. etiqueta III $$
Podemos tener $ u_1, u_2, ldots, u_ 2n $ expresados como funciones de $ q_i, p_i; $ alternativamente $ q_i, p_i $ pueden expresarse como funciones de $ u_1, u_2, ldots, u_ 2n ,. $ Podemos formar el corchete de Poisson para el primer caso mientras que para el segundo caso, podemos formar el corchete de Lagrange; por tanto, están relacionados entre sí. Si el corchete de Lagrange es invariante de una transformación explícita, entonces también lo es el corchete de Poisson. los transformación canónica deja el corchete de Poisson invariante independientemente de cómo $ u, v $ dependen de $ q_i, p_i ,. $
Ahora, exprese $ Q_i, P_i $ en términos de las coordenadas antiguas $ q_i, p_i $ como:
begin align Q_i & = F_i (q_1, ldots q_n; p_1, ldots, p_n) \ P_i & = F ^ prime _i (q_1, ldots q_n; p_1, ldots, p_n) fin alinear
Forme el corchete de Poisson tanto en las coordenadas nuevas como en las antiguas.
Por la propiedad de invariancia como se explicó anteriormente,
$$ (~ Q_i, ~ Q_k ~) = 0; qquad (~ P_i, ~ P_k ~) = 0; qquad (~ Q_i, ~ P_k ~) = delta_ ik ,. tag IV $$
Conmutatividad de operadores: advenimiento de la mecánica cuántica.
En QM, los observables están representados por operadores (hermitianos). Para un par de operadores $ A $ y $ B, $ el soporte del conmutador viene dado por $$[~A,~B~] equiv AB -BA etiqueta V $$
Mide en qué medida los operadores son conmutativo el uno al otro.
Dos observables diferentes con operadores $ A $ y $ B $ tienen valores definidos si la función de onda es una función propia de $ A $ y $ B $. Entonces, la pregunta de si dos cantidades pueden ser definidas al mismo tiempo es realmente si sus operadores $ A $ y $ B $ tienen funciones propias comunes.
Es decir
Si dos operadores hermitianos se desplazan al trabajo, existe un conjunto completo de funciones propias que es común a ambos.1.
Los observables con operadores que no conmutan no pueden, en general, tener valores definidos al mismo tiempo. Si uno tiene un valor definido, el otro es en general incierto.
Ahora, los análogos de las ecuaciones clásicas de movimiento en QM se pueden encontrar sustituyendo los corchetes del conmutador divididos por $ mathrm i hslash $ por el corchete de Poisson, a saber. $$ (~ A, B ~) flecha derecha frac1 mathrm i hslash ~[~A,~B~] tag VI $$
Lo que significa que las relaciones clásicas implican
$$[~q_i, ~q_k~] = 0; qquad[~p_i, ~p_k~] = 0; qquad[~q_i, ~p_k~] = mathrm i hslash ~ delta_ ik ,. tag VII $$
Principio de incertidumbre:
La desviación estándar del operador $ A $ viene dada por
$$ sigma_A = sqrt langle A ^ 2 rangle – langle A rangle ^ 2 $$ donde $ langle quad rangle $ es el valor esperado del observable en el estado en cuestión.
Para un observable representado por el operador $ A, $ la varianza de $ A $ en un estado determinado $ Psi $ viene dada por
$$ sigma ^ 2_A = langle (A – langle A rangle) Psi | (A – langle A rangle) Psi rangle ,. $$
De manera similar, para el observable representado por el operador $ B, $ tenemos $$ sigma ^ 2_B = langle (B – langle B rangle) Psi | (B – langle B rangle) Psi rangle ,. $$
Por lo tanto, begin align sigma ^ 2_A sigma ^ 2_B & = langle (A – langle A rangle) Psi | (A – langle A rangle) Psi rangle langle (B – langle B rangle) Psi | (B – langle B rangle) Psi rangle \ & geqq left | langle (A – langle A rangle) Psi | (B – langle B rangle) Psi rangle right | ^ 2 ~~~~~~ textrm Desigualdad de Cauchy-Schwarz ,. tag VIII end align
Para un número complejo $ z, $ $$ | z | ^ 2 = ( rm Re (z)) ^ 2+ ( rm Im (z)) ^ 2 geqq ( rm Im (z )) ^ 2 = left ( frac 1 2 mathrm i ~ left (zz ^ dagger right) right) ^ 2 $$ donde $ z ^ dagger $ es el complejo conjugado de $ z ,. $
Tome $ z $ como $ langle (A – langle A rangle) Psi | (B – langle B rangle) Psi rangle; $ esto significa $ z ^ dagger = langle (B – langle B rangle) Psi | (A – langle A rangle) Psi rangle ,. PS
Entonces, podemos escribir $ rm (VIII) $ como $$ sigma ^ 2_A sigma ^ 2_B geqq left ( frac 1 2 mathrm i ~ left ( langle (A – langle A rangle) Psi | (B – langle B rangle) Psi rangle- langle (B – langle B rangle) Psi | (A – langle A rangle) Psi rangle right ) derecha) ^ 2 ,. $$
Calcule los términos; al final, se descubriría que $$ langle (A – langle A rangle) Psi | (B – langle B rangle) Psi rangle- langle (B – langle B rangle ) Psi | (A – langle A rangle) Psi rangle = langle [~A,~B~] rangle ,. $$
Y así se puede concluir $$ underbrace sigma ^ 2_A sigma ^ 2_B geqq left ( frac 1 2 mathrm i ~ left ( langle [~A,~B~] rangle right) right) ^ 2 _ textrm Principio de incertidumbre generalizada ,. tag GUP $$
Ahora, de $ rm (VII), $ sabemos $[~x, ~p_x~] = mathrm i hslash $ donde $ x $ y $ p_x $ son operadores de posición y momento; usando esto y el Principio de incertidumbre generalizada, obtenemos lo muy familiar posición-impulso Principio de incertidumbre:
$$ sigma ^ 2_x sigma ^ 2_ p_x geqq left ( frac hslash 2 right) ^ 2 ;. tag IX $$
El principio de incertidumbre es un resultado general; se debe únicamente a la conmutatividad de los operadores y no a ninguna ola o partícula naturaleza.
El principio de incertidumbre se basa en el solo hecho de que dos operadores no necesitan ser conmutativos entre sí.
El par de operadores de posición y momento es solo uno de los muchos pares de operadores que no se conmutan entre sí y, por lo tanto, siguen a $ rm (GUP) ,. $
Relevancia de la ola imagen en el principio de incertidumbre.
Si $ f $ y $ F $ son Transformadas de Fourier, que los anchos de las gráficas de $ | f (x) | ^ 2 $ y $ | F (x) | ^ 2 $ no pueden ser ambos hecho arbitrariamente pequeño.
Hay teorema del ancho de banda que establece que el producto de la longitud de un paquete de ondas / grupo de ondas $ Delta x $ con la banda correspondiente $ Delta k $ de números de ondas no puede hacerse arbitrariamente pequeño simultáneamente. Precisamente, $$ Delta k Delta x approx Delta omega Delta t geqq 2 pi, $$ donde $ Delta omega $ es una banda de frecuencias angulares del paquete de ondas y $ Delta t $ es el tiempo que tarda el paquete en pasar un punto fijo con velocidad de grupo $ v_g $ usando la relación $ Delta k = dfrac Delta omega v_g ,. $
Usando la relación De-Broglie, obtenemos nuevamente $$ Delta x Delta p_x geqq frac hslash 2 ,. Tag X $$
Esto es cierto porque la posición y el momento están conjugados de Fourier entre sí.
Conclusión:
¿Es cierto que este principio es una consecuencia de la naturaleza ondulatoria de la partícula, que la incertidumbre surge debido al hecho de que la partícula actúa como una onda?
Si y no.
Seguramente el principio de incertidumbre puede derivarse del hecho de que las partículas cuánticas tienen ondas asociado con ellos.
Pero el principio de incertidumbre es un resultado mucho más general.
Se debe únicamente a la conmutatividad de los operadores.
Como no todos los pares de operadores necesitan ser conmutativos.
Referencias:
$ bullet $ Los Principios Variacionales de la Mecánica por Cornelius Lanczos.
$ bullet $ Mecánica cuántica por Leonard I. Schiff.
$ bullet $ Introducción a la mecánica cuántica por David J. Griffiths.
$ bullet $ Ondas por Frank S. Crawford Jr.
$ bullet $ Principio de incertidumbre – Wikipedia.
Sí, en cierto sentido se puede decir que es la naturaleza ondulatoria de las “partículas” lo que inevitablemente condujo al principio de incertidumbre de Heisenberg. El descubrimiento original de Planck, que relacionaba energía y frecuencia, seguido de la relación equivalente entre el momento y el vector de propagación, implicaba que se puede tomar la transformada de Fourier de la distribución espacio-temporal de una partícula para obtener la información de su energía y impulso. Mientras que en la física clásica el momento y la energía se consideran información adicional a la información de posición de una partícula, en física cuántica ahora entendemos que esto representa la misma información. Se puede expresar la función de onda de la partícula en el espacio de posición o en el espacio de momento. Ambos representan la misma información.
Ahora bien, debido a las propiedades de esta relación entre los dos espacios, uno tiene la situación de que si la distribución en el espacio de posición está muy localizada, entonces la distribución correspondiente en el espacio de momento se extenderá, y viceversa. Los productos de los anchos de las distribuciones en los dos espacios respectivos nunca pueden ser menores que una cierta cantidad. Este es el principio de incertidumbre de Heisenberg.
La razón por la que la transformada de Fourier conduce a esta relación se debe a las diferentes bases que se asocian con los dos espacios. Se dice que estas diferentes bases son mutuamente imparcial. Lo que esto significa es que la magnitud de la superposición de cualquier par de elementos de las dos bases es siempre la misma. Por lo tanto, si tengo una distribución que está representada por solo uno de los elementos de una de las bases, entonces su representación en términos de la otra base necesariamente se distribuiría entre todos los elementos de esa base. Esta es una propiedad que puede ir más allá de la transformada de Fourier. Por lo tanto, se puede encontrar que el principio de incertidumbre de Heisenberg también se aplica en situaciones en las que los diferentes espacios no están relacionados por una transformada de Fourier.
Comentarios y puntuaciones
Al final de todo puedes encontrar las notas de otros usuarios, tú igualmente puedes insertar el tuyo si te gusta.