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Preguntas sobre Definición de Espacios Vectoriales

Posterior a de esta larga selección de información pudimos resolver esta pregunta que pueden tener algunos los usuarios. Te regalamos la respuesta y nuestro deseo es serte de mucha ayuda.

Solución:

Pregunta 1.

Una definición general de un “producto” es la siguiente: suponga que tiene tres espacios vectoriales $X,Y,Z$ todo en el mismo campo. Entonces, un mapeo bilineal $beta:Xveces Ya Z$ es esencialmente lo que entendemos por un “producto”. Así que ciertamente puedes considerar la noción de productos/multiplicación. Pero, lo que es importante notar es que esto es extra información que tiene que proporcionar; no es parte de los axiomas del espacio vectorial, por lo tanto, no hay una elección estándar/canónica en general.

Ciertamente puede mirar espacios vectoriales equipados con productos de puntos (más comúnmente llamados productos internos). Más precisamente, supongamos $V$ es un espacio vectorial sobre $BbbR$. Entonces, un producto interno en $V$ es un mapeo definido positivo bilineal y simétrico $langlecdot,cdotrangle : Vtimes V to BbbR$. Al prescribir un producto interior, en esencia estamos prescribiendo una geometría para el espacio vectorial $V$. Si quieres generalizar un poco más, podemos debilitar las condiciones impuestas. Por ejemplo, un mapeo bilineal, simétrico y no degenerado $g:Vveces Va BbbR$ se llama pseudo-producto interno, y nos referimos al par $(V,g)$ como un espacio pseudo-producto interior. (Omití intencionalmente el caso complejo ya que las definiciones son ligeramente diferentes). La noción de un producto cruzado es más sutil, así que no quiero entrar en detalles; pero realmente si formula una definición adecuada, puede definir varios tipos de “productos”.


Pregunta 2.

Si $matemáticasF$ es cualquier subcampo de $BbbR$entonces podemos considerar $BbbR^n$ como un espacio vectorial sobre $BbbF$ (restringiendo las operaciones “habituales” al campo $BbbF$). Los ejemplos más evidentes son $BbbF=BbbR,BbbQ$.


Pregunta 3.

Suponer $V,W$ son espacios vectoriales sobre campos $F_1,F_2$ respectivamente. Para definir la noción de un mapa lineal $T:Va W$nos gustaría que la siguiente ecuación se cumpliera para todos $x,yen V,lambdaen F_1$: $T(lambda x+y)=lambda T(x)+T(y)$. Bueno, para hablar de $lambda T(x)$necesitamos que el espacio objetivo sea considerado como un espacio vectorial sobre $F_1$entonces necesitaríamos $F_1subconjunto F_2$. Si quieres hablar de isomorfismos, también necesitarás que el mapa inverso sea lineal, por lo que queremos $F_2subconjunto F_1$. Por lo tanto, siempre los consideramos sobre el mismo campo. $F$.


Pregunta 4.

Si $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $F$y $Wsubconjunto V$ es cualquier subconjunto no vacío, entonces, por definición, para decir $W$ es un espacio vectorial sobre $F$ tenemos que verificar un montón de axiomas. Pero, es un hecho agradable que en realidad no tenemos que hacer tanto trabajo: siempre y cuando verifiquemos $0en W$ (o solo eso $Wneqemptyset$), y eso $W$ es cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar, entonces se sigue que $W$ (equipado con la suma restringida y la multiplicación escalar como operaciones) es un espacio vectorial sobre $F$ por derecho propio (esto generalmente se llama el criterio “subespacial” o algo así). Lo bueno es que todos los axiomas como asociatividad/conmutatividad o suma/leyes distributivas, etc. $W$ porque se aguantan $V$ y desde $Wsubconjunto V$.

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