Recuerda que en las ciencias un error suele tener más de una resoluciones, de igual modo nosotros aquí te mostraremos lo más óptimo y mejor.
Solución:
La fuerza de Lorentz es no un invariante de Lorentz, por lo que si obtiene la misma fuerza total en S ‘que en S, entonces está haciendo algo mal.
En el marco estacionario de los electrones, la fuerza sobre un electrón debido al otro está dada por una fuerza de Coulomb pura
$$ bf F ‘ = -e bf E’ = frac e ^ 2 4 pi epsilon_0z ‘^ 2 bf hat z, $$
donde $ z ‘$ es su separación a lo largo del eje z.
En el marco de su laboratorio (en el que se mueven los electrones), el campo eléctrico se transforma de acuerdo con las transformaciones relativistas especiales habituales de los campos electromagnéticos para una diferencia de velocidad del marco de $ bf v = v bf hat x $ (es decir, perpendicular a una línea que une las cargas)
$$ bf E = gamma E ‘ bf hat z $$
y ahora hay un campo magnético
$$ bf B = – gamma frac vE ‘ c ^ 2 bf hat y , $$
y $ z = z ‘$.
La fuerza de Lorentz total es entonces
$$ bf F = -e left ( bf E + bf v times bf B right) = – gamma eE ‘ left (1 – frac v ^ 2 c ^ 2 right) bf hat z = gamma ^ – 1 bf F ‘ $$
Por lo tanto, en el marco de laboratorio, la fuerza entre los electrones disminuye a medida que se aceleran.
Editar: Acabo de notar que la respuesta mucho más concisa de Rob básicamente dice lo mismo. Esta respuesta es principalmente para personas a las que les gustaría saber cómo se transforman los campos eléctricos y magnéticos bajo un impulso.
La respuesta corta es que cuando tienes una carga moviéndose en el espacio, hay es una densidad de carga así como una densidad de corriente, aunque no es tan fácil trabajar con ella como en el caso de una línea infinita de cargas, ya que, como se trata de un objeto puntual, estas densidades son singular. La densidad de una carga puntual en reposo en algún punto $ vec r _0 $ puede ser dado por $$ rho ( vec r) = q delta ^ 3 ( vec r – vec r _0), $$
y si ese punto se mueve, la densidad de carga viene dada por $$ rho ( vec r, t) = q delta ^ 3 ( vec r – vec v t), $$
que es un poco molesto para trabajar. Si está interesado en encontrar los campos eléctricos y magnéticos de una carga puntual sin usar explícitamente las densidades de carga y corriente, siga leyendo. Mis argumentos seguirán las Conferencias de Física de Feynman (ver aquí).
Transformaciones generales de campos:
Voy a suponer que sabes qué son los cuatro vectores y cómo se transforman. También voy a suponer que sabes que el potencial electrostático y el potencial del vector magnético juntos forman un cuatro-vector $ A ^ mu $. Es posible hacer todo este análisis sin utilizar estos supuestos, pero lo hacen bastante sencillo.
$$ mathcal A = begin pmatrix phi / c \ A_x \ A_y \ A_z end pmatrix $$
Consideremos primero que tenemos un cargo $ q $ que está en reposo en el marco $ S ^ prime $ que se mueve con respecto a $ S $ a una velocidad $ v $. Un observador en $ S $ vería así que la carga se mueve con una velocidad $ v $.
Dado que los cuatro potenciales $ A ^ mu $ es un cuatro-vector, podemos relacionar los potenciales en $ S ^ prime $ con los potenciales en $ S $ usando las Transformaciones de Lorentz (inversas):
begin ecuación * begin alineado phi / c & = gamma left ( frac phi ^ prime c + beta A ^ prime_x right) \ A_x & = gamma left (A_x ^ prime + beta frac phi ^ prime c right) \ A_y & = A_y ^ prime \ A_z & = A_z ^ prime end alineado fin ecuación *
Ahora en $ S ^ prime $ la carga está en reposo, y simplemente tenemos $$ phi ^ prime = frac 1 4 pi epsilon_0 frac q left (x ^ prime ^ 2 + y ^ prime ^ 2 + z ^ prime ^ 2 right) ^ 1/2, quad quad vec A ^ prime = 0 text (Sin campo magnético) $$
Entonces podemos encontrar $ phi $ y $ A_x $ medido en $ S $:
begin ecuación * begin alineado phi / c & = frac gamma 4 pi epsilon_0 c frac q left (x ^ prime ^ 2 + y ^ prime ^ 2 + z ^ prime ^ 2 right) ^ 1/2 = frac gamma 4 pi epsilon_0 c frac q left ( gamma ^ 2 (x – vt) ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 right) ^ 1/2 \ A_x & = frac gamma 4 pi epsilon_0 c ^ 2 frac qv left ( gamma ^ 2 (x – vt) ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 right) ^ 1/2 \ A_y & = 0 \ A_z & = 0 end alineado end ecuación *
que puede parecer complicado, pero básicamente es una simple sustitución. La única otra cosa que he hecho es escribir el RHS en términos de $ x, y, z $ medido en $ S $, usando el hecho de que $ x ^ prime = gamma (x- vt) $ y así.
Podemos obtener los campos eléctricos y magnéticos en $ S $ de los potenciales usando: $$ vec E = – vec nabla phi – frac parcial vec A parcial t quad quad vec B = vec nabla times vec A, $$ y puedes mostrar eso $$ vec E = frac gamma q 4 pi epsilon_0 frac (x-vt) hat x + y hat y + z hat z left ( gamma ^ 2 (x – vt) ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 right) ^ 3/2 quad text y quad vec B = frac vec v c ^ 2 times vec E $$
Fuerza en una segunda carga:
Suponga que ahora tiene una segunda carga puntual $ Q $ en reposo con respecto a $ q $ en $ S ^ prime $. Imagina que las coordenadas de $ q $ y $ Q $ son $ (0,0,0) $ y $ (0, y, 0) $ respectivamente. La fuerza en $ Q $ debido a $ q $ solo sería $$ F_Q ^ prime = frac 1 4 pi epsilon_0 frac qQ y ^ 2 = Q vec E _q (0, y, 0). text (Dado que no hay campo magnético) $$
Ahora, ¿qué pasa con la fuerza observada por alguien en $ S $? Según este observador, las coordenadas de las cargas son $ (vt, 0,0) $ y $ (vt, y, 0) $, y la fuerza es
$$ F_Q = Q left (E_q (vt, y, 0) + vec v times vec B (vt, y, 0) right) = gamma Q left (1 – frac v ^ 2 c ^ 2 right) vec E ^ prime = frac q vec E ^ prime gamma = frac F_Q ^ prime gamma. $$
Por tanto, la fuerza es no lo mismo en ambos marcos, es un componente de un cuatro-vector en sí mismo (las cuatro fuerzas) que creo que no se menciona lo suficiente en la mayoría de los cursos sobre Relatividad Especial.
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