Investigamos por diferentes espacios y así tenerte la respuesta a tu duda, en caso de alguna difcultad deja la duda y te respondemos sin falta.
Solución:
Un contraejemplo muy fácil sería $$ 1, underbracefrac12, frac12_2text mitades, underbracefrac13, frac13, frac13_3text tercios , underbracefrac14, frac14, frac14, frac14_4text cuartos, underbracefrac15, frac15, frac15, frac15, frac15_5text quintos, ldots $$ Esta secuencia claramente converge a $0$, pero si intentas sumarla, debería ser obvio que tiene sumas parciales tan grandes como te gustaría que fueran, por lo que la serie diverge.
Pruebe cualquier argumento que tenga en mente para creer que la serie debería convergere intente averiguar por qué no funciona para este.
¿Crees que la serie
$$1+frac12+frac12 + frac14+frac14+frac14+frac14 + frac18 + cdots$$
converge? Tenga en cuenta que hay $2$ términos iguales a $frac12$, $4$ términos iguales a $frac14$, $8$ términos iguales a $frac18$ y así sucesivamente, con $2^i$ términos iguales a $frac{1 2^i$ por cada $iinmathbb N$.
Probablemente estará de acuerdo en que esta serie diverge. De hecho, si me das un número $min mathbb N$, puedo calcular exactamente cuántos términos de la serie tienes que sumar para que la suma llegue a $m$.
Por ejemplo, se necesita un término de $1$ para llegar a $1$, se necesitan $1+2=3$ términos para llegar a $2$, y luego $1+2+4=7$ términos para llegar a $3$. Puede mostrar, con un argumento inductivo simple, que llegará a $m$ después de
$$1+2+4+puntos + 2^m-1$$
términos, que en realidad es igual a $2^m-1$ y ciertamente es un número finito.
Es bueno entender el concepto de por qué esta serie diverge. El caso es que sí, los plazos van a $0$, pero no lo hacen “lo suficientemente rápido”. El problema es que una vez que los términos llegan a $frac14$, se mantienen en ese número durante pasos de $4$, lo suficiente como para que la suma aumente en $1$.
E imagina lo que sucede en el futuro. La suma es igual a $frac11024$ para un total de $1024$ términos, por ejemplo. Seguro, lo hará finalmente caer a un número aún más bajo, pero permanecerá en ese número por incluso más largode nuevo el tiempo suficiente para que la suma total aumente en $1$.
Dato colateral: la serie que anoté al principio tiene la propiedad adicional de que cada término de la secuencia es mayor que el término correspondiente de la secuencia
$$1+frac12+frac13+frac14+frac15+cdots$$
que también se conoce como el serie armónica y es la serie divergente más famosa. Entonces, ahora ves que si sumas $2^m$ términos de la serie armónica, tu suma será igual a al menos $m$ (y más, de hecho).
Sin embargo, tenga en cuenta que en el campo de $p$-números ádicos $mathbf Q_p$, una serie $sum_na_n$ converge si y solo si la sucesión $(a_n)$ tiende a $0$.
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