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Solución:
Es bastante desafortunado que en cálculo II le enseñemos a Taylor serie al mismo tiempo que le enseñamos a Taylor polinomios, todo el tiempo sin hacer un buen trabajo al enfatizar la distinción entre una serie infinita y una suma finita. En el proceso, parece que enseñamos a los estudiantes que las series de Taylor son una herramienta mucho más poderosa que ellos, y que los polinomios de Taylor son una herramienta mucho menos poderosa que ellos.
La idea principal es realmente el polinomio de Taylor finito. La serie de Taylor es solo un límite de estos polinomios, ya que el grado tiende a infinito. El polinomio de Taylor es una aproximación a la función a partir de su valor y un número determinado de derivadas en un punto determinado. Las fórmulas del resto nos informan sobre el error en esta aproximación. En particular, nos dicen que los polinomios de mayor grado proporcionan mejores aproximaciones locales a una función.
Pero el tema es que lo que significa “local” realmente depende del grado $n$. Mirando el resto de Lagrange, el error en una aproximación de grado $n$ es
$$fracf^(n+1)(xi_n) (x-x_0)^n+1(n+1)!$$
donde $xi_n$ está entre $x_0$ y $x$. Entonces, la proporción de errores entre el paso $n$ y el paso $n-1$ es*
$$fracf^(n+1)(xi_n) (x-x_0)f^(n)(xi_n-1) (n+1)$$
donde igualmente $xi_n-1$ está entre $x$ y $x_0$. Por lo tanto, el error es menor cuando esta cantidad es inferior a $1$. De este formulario podemos ver que podemos elegir $x$ lo suficientemente cerca de $x_0$ para garantizar que esta cantidad sea menor que $1$. Pero si
$$fracf^(n+1)(xi_n)f^(n)(xi_n-1) > fracn+1x-x_0 $$
entonces la aproximación de grado $n$ será peor que la aproximación de grado $n-1$ en $x$. Si esto continúa ocurriendo una y otra vez, entonces no hay esperanza de que la serie de Taylor converja a la función original en ningún lugar excepto en el punto de expansión. En otras palabras, si las derivadas crecen demasiado rápido con $n$, entonces la expansión de Taylor no tiene esperanza de tener éxito, incluso cuando las derivadas necesarias existen y son continuas.
*Aquí asumo técnicamente que $f^(n)(xi_n-1) neq 0$. Esta suposición puede fallar incluso cuando $f$ no es un polinomio; piensa en la aproximación lineal de $sin$ en $pi/2$. Pero esta es una situación “degenerada” en cierto sentido.
Una de las razones intuitivas es que trabajando con funciones de argumento real no nos importan sus singularidades en el plano complejo. Sin embargo, estos restringen el dominio de convergencia.
El ejemplo más simple es la función $$f(x)=frac11+x^2,$$ que se puede expandir en series de Taylor alrededor de $x=0$. El radio de convergencia de esta serie es igual a $1$ debido a los polos $x=pm i$ de $f$ en el plano complejo de $x$.
La expansión de Taylor no se deriva del teorema del valor medio. La expansión de Taylor es una definición válida para cualquier función que sea infinitamente diferenciable en un punto. Las diversas formas para el resto se derivan de varias maneras. Por definición, la función de resto es $R(x)=f(x) – T(x)$ donde $f$ es la función dada y $T$ es su expansión de Taylor (alrededor de algún punto). No hay garantía a priori de que la expansión de Taylor proporcione un valor remotamente relacionado con el valor de la función, excepto en el punto de expansión. Las diversas formas para el resto se pueden usar para obtener límites en el error que, a su vez, se pueden usar para mostrar la convergencia en alguna región, pero no hay razón a priori para esperar límites que se comporten bien. Simplemente tienes una fórmula para el resto. El resto aún puede ser grande. Por supuesto, la existencia de ejemplos bien conocidos en los que la expansión de Taylor realmente no se aproxima en absoluto a la función muestra que es inútil esperar milagros.