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Solución:
Creo que una forma más fundamental de abordar el problema es discutiendo las curvas geodésicas en la superficie que llamas hogar. Recuerde que la ecuación geodésica, aunque es equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange, se puede derivar simplemente considerando diferenciales, no extremos de integrales. La ecuación geodésica surge exactamente al encontrar la aceleración, y por lo tanto la fuerza según las leyes de Newton, en coordenadas generalizadas.
Consulte la guía Lagrangian Dynamics de Schaum de Dare A. Wells Cap. 3, o análisis vectorial y tensorial de Borisenko y Tarapov, problema 10 en la p. 181
Entonces, al establecer la fuerza igual a cero, uno encuentra que el camino es la solución a la ecuación geodésica. Entonces, si definimos una línea recta como la que toma una partícula cuando no hay fuerzas sobre ella, o mejor aún, que un objeto sin fuerzas toma la ruta más rápida y, por lo tanto, la más corta entre dos puntos, entonces walla, el la distancia más corta entre dos puntos es la geodésica; en el espacio euclidiano, una línea recta tal como la conocemos.
De hecho, en la P. 51 Borisenko y Tarapov muestran que si la fuerza está en todas partes tangente a la curva de viaje, entonces la partícula también viajará en línea recta. Nuevamente, incluso si hay una fuerza sobre ella, siempre que la fuerza no tenga un componente perpendicular a la trayectoria, una partícula viajará en línea recta entre dos puntos.
Además, en lo que respecta a la intuición, este es también el camino de menor trabajo.
Entonces, si está de acuerdo con la definición de una derivada en una métrica dada, entonces puede encontrar las curvas geodésicas entre puntos. Si define las derivadas de manera diferente y, por lo tanto, coordina las transformaciones de manera diferente, entonces es una historia completamente diferente.
Permítanme comenzar diciendo que en un nivel instintivo, estoy de acuerdo con todo lo que dijo. Pero siento que debería hacer este argumento de todos modos, ya que podría ayudarlo a usted (¡y a mí!) A resolver ideas sobre el asunto.
No parece inconsistente argumentar que el modelo del espacio euclidiano (definido por, digamos, los axiomas de Hilbert) como $ Bbb R ^ n $ realmente evita todas las cuestiones filosóficas. Podemos preguntarnos por qué $ Bbb R $ y demás, pero tomado como un objeto por derecho propio, el producto interno estándar define todo, desde la geometría hasta la topología y la noción de tamaño.
En esta vista, la integral que mencionaste se puede tomar como la definición de “longitud” de una curva (en $ Bbb R ^ 2 $, creo), observando que coincide con la medida de Lebesgue cuando se da la curva en consideración. por una transformación afín (aunque esto es formalmente irrelevante). La definición no está motivada por descomponerse en líneas rectas, sino en vectores, que tienen una definición diferente de longitud (esto no me preocupa mucho: es solo una ilusión que usemos el mismo término para cada uno). La noción de “línea” en sí surge como una pregunta bastante natural: ¿cuál es el mínimo de la longitud entre dos puntos y, de ser así, hay realmente una curva que lo alcance? Una vez que vea que la respuesta no solo es “sí” sino también “y es única”, no es exagerado pensar que vale la pena agregar estos objetos a nuestra comprensión básica del espacio.
En cuanto a la observación de elegir la distancia de Manhattan: nada le impide hacer esto, pero si prefiere que esta sea su norma (lo que bien podría hacer, por las razones que describió anteriormente), perderá todos los aspectos de la geometría relacionados con los ángulos. También pierde la singularidad de las curvas de longitud mínima, y quizás luego se interese menos en la pregunta. Desde la perspectiva omnisciente, podríamos ver esto como una tragedia, una pérdida aceptable o incluso como una ganancia. Esta objeción, así como el comentario de Will Jagy, solo parecen resaltar la flexibilidad que tenemos en términos de qué formalismos usar.
Su otra pregunta es, por supuesto, mucho más difícil de responder, pero creo que una buena reducción de la pregunta es “¿Qué hace que $ Bbb R ^ 3 $ sea el modelo de mayor sensación física?” La pregunta es particularmente interesante a la luz del hecho de que $ Bbb R ^ 3 $ es ciertamente no ¡un modelo completo de espacio para la física real! Pero no creo que te tomen en serio si intentaras argumentar que el universo no es múltiple. Por alguna razón, (subconjuntos abiertos de) $ Bbb R ^ n $ es localmente “casi correcto”.
Solo soy yo hablando de ya sabes dónde: podría ser que la razón por la que tenemos intuiciones tan fuertes sobre la rectitud y la distancia se deba a las presiones evolutivas. Las personas que pudieran intuir cómo ir de un lugar a otro de manera eficiente no quemarían las calorías innecesarias y, en un mundo menos protegido, esto podría ayudarlas a alcanzar la edad de la viabilidad sexual. Una vez que comenzamos a pensar de manera inductiva, se nos permitirá pensar en la noción de rectitud como algo permanente y como una construcción general en lugar de una característica situacional. Pero para entonces sería demasiado tarde para enderezar la combinación de rectitud y linealidad, y tendríamos que esperar mucho tiempo antes de poder hacerlo con algún rigor.
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