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¿Por qué un subespacio es cerrado?

Nuestros mejores desarrolladores han agotado sus depósitos de café, en su búsqueda noche y día por la solución, hasta que Óliver encontró la respuesta en GitLab así que en este momento la compartimos aquí.

Solución:

Otro enfoque será mostrar que un espacio normado de dimensión finita (sobre $matemáticas R$ o $mathbb C$ o de hecho sobre cualquier campo normado completo) es completa. Luego concluya que está cerrado en un espacio normado más grande.

Insinuación:

  1. Utilice que todas las normas sobre $F$ son equivalentes para mostrar que todos los subconjuntos acotados de $F$ que están cerrados en $F$ son compactos.

  2. Demuestra que tu secuencia está contenida en un subconjunto acotado de $F$ que está cerrado en $F$.

  3. Encuentre una subsucesión que tenga un límite en $F$. ¿Cuál es el límite?

Para elaborar un poco sobre la sugerencia de GEdgar: sabemos que $F$ tiene una base $e_1,puntos,e_n$. Usando Bolzano-Weierstrass puede demostrar que tenemos la existencia de algunos $r>0$ tal que para cualquier elección de escalares $c_1,puntos,c_nen K$ tenemos
$$|sum_i=1^nc_ie_i|geq rsum_i=1^n|c_i|.$$
Usando esto puedes demostrar que $F$ Esta completo. Considere una secuencia de Cauchy $(x_m)subconjunto F$. Sabemos que cada $x_m=sum_i=1^nc_i^(m)e_i$. Usando la desigualdad anterior y el cauchyness de $(x_m)$ tratar de demostrar que cada secuencia de escalares $(c_i^(m))$ también es Cauchy. Como $K$ es completa, sabemos que cada una de estas secuencias tiene un límite en $K$. Muestra esa $(x_m)$ converge al elemento de $F$ definida por estos límites escalares.

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