Solución:
Esta es una justificación física más que matemática: ¡ignore mi respuesta si eso no es lo que quería!
Todos los sistemas tienen algo de movimiento térmico, por lo que exploran el espacio de fase en su vecindad inmediata. Si hay un punto cercano con una energía libre menor en alguna cantidad $ Delta G $, entonces la probabilidad relativa de encontrar el sistema en ese punto será $ exp (- Delta G / RT) $. Entonces, si la energía se minimiza moviéndose a ese punto, es decir, $ Delta G <0 $, solo tenemos que esperar y encontraremos que el sistema se ha movido allí. El único lugar en el espacio de fase donde el sistema no se moverá es cuando la energía libre está en un mínimo (local). Es por eso que un sistema siempre (localmente) minimiza su energía libre si espera lo suficiente.
Tenga en cuenta el título del enlace que proporciona:
Energía potencial total mínima principio
negrita mía.
La única respuesta a las preguntas de “por qué” sobre los principios de la física es “porque se ha descubierto que los modelos teóricos que dependen de ellos describen todos los datos conocidos y pueden predecir otros nuevos”.
Las preguntas de por qué en física cuando chocan con postulados y leyes, es como preguntar por qué en un axioma de las matemáticas. Los principios son parte de la definición de la teoría, y las teorías físicas se establecen cuando los datos los validan continuamente.
No se puede explicar este principio sino atribuyéndolo a observaciones que nos obligaron a usarlo axiomáticamente.
La pregunta sobre minimizar la energía potencial y las respuestas de que tales preguntas no tienen mucho sentido es una conversación típica entre un físico y un matemático:
Físico: – ¿Por qué los sistemas tienden a minimizar la energía potencial?
Matemático: – Mira a tu alrededor, muchas cosas siguen este principio: energía potencial, entropía …
Físico: – Está bien, puedo ver eso, y por eso estoy preguntando. ¿Por qué? ¿Por qué un número más bajo es mejor? ¿Qué tiene eso de especial? ¿Por qué no números más grandes?
Matemático: – No hagas esas preguntas. Esto fue probado por experimentos. Simplemente debemos aceptarlo como un hecho, como un axioma. Y los axiomas simplemente son. Así que no te pongas metafísico.
… y aquí es donde el pobre físico curioso deja de preguntar más si quiere seguir con su carrera, ya que la etiqueta de “filósofo” podría no ser muy útil …
Bueno … el misterio de la tendencia a minimizar la energía potencial se evapora rápidamente en cuanto te haces otras preguntas: ¿De qué proviene esta energía potencial? ¿Qué representa? ¿Cuál es la fuente / causa subyacente?
En el caso de que la bola ruede por la pendiente, la respuesta es obvia. Esta causa es la gravedad. Los cuerpos masivos simplemente atraen a todos los demás cuerpos masivos alrededor, y dado que el potencial gravitacional se define en términos de distancia a la fuente (centro) de gravitación, obviamente la bola que se mueve hacia el centro de gravedad minimiza su potencial. Entonces, la pregunta importante aquí es: ¿qué es más fundamental: la gravedad o el potencial gravitacional? ¿Es el axioma de minimizar el potencial una respuesta definitiva? ¿O causa última? En el caso de la gravedad, el potencial simplemente te dice de alguna manera qué tan distantes están los cuerpos atrayentes y, por lo tanto, si la fuerza puede producir algún movimiento (y cuánto de este movimiento) o no. Potencial mínimo significa que no es posible ningún movimiento debido a la fuerza; potencial máximo significa que (mucho) movimiento es posible. Y la fuente del movimiento es la fuerza, no el potencial. Y el movimiento causado por la fuerza solo puede ir de números más grandes (distancia) a números más pequeños. Así es como funciona: la fuerza empuja las cosas hacia adentro, por lo que la distancia se vuelve más pequeña. Y así es como se ha definido realmente el potencial. Por tanto, la respuesta no es que la naturaleza (por algunas razones metafísicas) haya desarrollado una afición por los números pequeños. Es más bien que la naturaleza proporciona esta fuerza atractiva fundamental, llamada gravitación, que hace que la materia “se una”. Y la tendencia a disminuir el potencial es una forma de decir que la fuerza de atracción hace que los cuerpos se unan y, por lo tanto, disminuyan la distancia entre ellos.
Para resumir nuestro caso de gravedad: La tendencia de un sistema a minimizar la energía potencial resulta de la fuerza subyacente que empuja a un cuerpo hacia su fuente. (o empujar un cuerpo, si la naturaleza de la fuerza es repulsiva). Esto da como resultado la minimización de la distancia y, por tanto, la minimización de la energía potencial. Entonces, más energía potencial equivale a más movimiento potencial, y menos energía potencial equivale a menos movimiento potencial. (Obviamente, si los dos cuerpos atrayentes ya están juntos, la fuerza no puede producir ningún movimiento, por lo tanto, energía potencial cero).
Ahora bien, este razonamiento es igualmente cierto para la energía potencial eléctrica o la energía potencial elástica. En todos estos casos hay una fuerza subyacente que hace que la materia se mueva. Entonces, si la naturaleza de la fuerza es atractiva, la energía potencial relacionada crece con la distancia, lo que representa el movimiento potencial que estas fuerzas pueden producir.
De modo que tenía toda la razón al preguntar “por qué” sobre este axioma. De esta manera, es más probable que produzca respuestas más profundas que lo llevarán a fenómenos más fundamentales y, en última instancia, a una mejor comprensión de la naturaleza. Probablemente exista un límite para comprender por qué las cosas son como son, pero la tendencia a minimizar la energía potencial ciertamente no es la Causa Última.
Por cierto, dijiste que preferirías no obtener la respuesta en términos de entropía. Tenías razón, porque la entropía no es realmente necesaria para encontrar la respuesta sobre el potencial. Sin embargo, el caso de la pelota nos muestra algo muy interesante: la gravedad y la entropía son dos fenómenos opuestos básicos. La gravedad contrarresta la entropía. La gravedad une a las moléculas, mientras que la entropía las aleja. Es más fácil de entender esto después de aclarar y desmitificar el término “entropía”. La entropía es simplemente el fenómeno asociado con el movimiento de moléculas (o partículas). Las moléculas con mayor energía, es decir, que se mueven más rápido, tienden a viajar a regiones donde hay más moléculas con menor energía, es decir, que se mueven más lentamente. ¿Por qué? Seguro que puedes preguntar por qué, esto tampoco es un axioma o metafísica fundamental. Esto se debe simplemente a que las moléculas que se mueven más rápido tienen más probabilidades de chocar entre sí cuando se agrupan. Pero es menos probable que golpeen a los que se mueven más lento. La consecuencia es que las moléculas que se mueven rápidamente están restringiendo los movimientos de las demás, ya que se golpean entre sí con más frecuencia. Por lo tanto, las moléculas de movimiento rápido penetrarán más a menudo en áreas donde hay muchas partículas de movimiento más lento. En cualquier período de tiempo dado, los más lentos “ocupan” menos espacio, dejando así más espacio para que los rápidos se muevan (en un determinado $ Delta t $ necesario para que una molécula rápida viaje $ Delta x $ que sea igual a su tamaño, a una partícula más lenta viajará menos distancia que una más rápida). Y cuando las moléculas más rápidas se mezclan con las más lentas, darán parte de su velocidad (energía) a las que se mueven más lentamente (a través de colisiones, que también ocurren aunque con menos frecuencia). De esta forma el sistema pasa de “entropía más alta” a “entropía más baja”. Pero esto no sucede porque a la naturaleza le gusten más los números pequeños, como puede ver. Se puede explicar perfectamente mecánicamente sin asumir axiomas.