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Solución:
Recuerda que la cancelación se mantiene en los dominios. Es decir, si $c neq 0$, entonces $ac = bc$ implica $a=b$. Entonces, dado $x$, considere $x, x^2, x^3,……$. Por finitud habría una repetición en algún momento: $x^n = x^m$ para algún $n >m$. Entonces, por cancelación, $x^nm =1$, y $x$ tiene una inversa.
tu prueba es completable. Escribe $rm:u = x_jne 0.:$ O $rm:u^2 = u: (entonces: u = 1): $ o $rm: u^ 2 = x_:kmid 1:$ entonces $rm:umid 1.:$ Por lo tanto todos los elementos distintos de cero de $rm:R:$ son unidades. $:$ (nota $rm u^2 ne 0:$ por $rm:une 0:$). $ $ QED
De hecho, uno puede generalizar tales ideas basadas en casilleros. El teorema a continuación es una manera simple. Tenga en cuenta que la prueba anterior es solo el caso especial cuando $rm:R:$ es un dominio y $rm:|cal N|$ $ = 1:.$
Teorema $ $ Si todos menos un número finito de elementos de un anillo $rm:R:$ son unidades o divisores de cero (incluido $0$), entonces todos los elementos de $rm:R:$ son unidades o cero -divisores.
Prueba $ $ Supongamos que el conjunto finito $rm:cal N:$ de divisores no unitarios distintos de cero no es vacío. Sea $rm: rin cal N.,$ Entonces todas las potencias positivas $rm:r^n:$ también están en $rm:cal N:$ ya que potenciar conserva la propiedad de ser un divisor no unitario y distinto de cero (si $rm a,r^n = 0:$ entonces, dado que los divisores distintos de cero son cancelables, deducimos $rm:a = 0:$ por cancelando los $rm:n:$ factores de $rm:r).,$ Así que encasillando las potencias $rm:r^n:$ en el conjunto finito $rm,cal N$ produce $rm:m>n:$ tal que $rm:r^m = r^n, $ entonces $,rm:r^n(r^mn – 1 ) = 0:.:$ Como $rm r^nincal N$ no es un divisor de cero por lo que podemos cancelarlo, lo que, finalmente, produce que $rm:r^mn =1,:$ entonces $rm:r:$ es una unidad, contradicción. $ $ QED
Corolario $ $ Cada elemento de un anillo finito es una unidad o un divisor de cero (incluido $0$).
Por lo tanto, un dominio integral finito es un campo.
Para un ejemplo menos trivial, vea mi prueba aquí que generaliza (a anillos de “pocas unidades”) la prueba constructiva clásica de Euclides de que hay infinitos números primos. Tales ideas se generalizan a los monoides y saldrán a la luz cuando uno aprenda métodos algebraicos locales-globales, especialmente. Localización de anillos.
Basta probar que existe $1in R$ tal que $a1=1a=a$ para cualquier $ain R$, y que todo $aneq 0$ es invertible en $R$. Entonces, sea $R=a_1,dots,a_n$ con los $a_i$ separados por pares. Sea $a=a_kneq 0$. Entonces los elementos $$aa_1,aa_2,dots, aa_n$$ también son distintos por pares (si $aa_i=aa_j$ con $ineq j$ entonces $a(a_i-a_j)=0$ lo que obliga a $a_i=a_j $ ya que estamos en un dominio integral y $aneq 0$). Pero entonces el mapa $Psi:Rto R$ definido por $$Psi(a_i)=aa_i$$ es inyectivo por lo que hemos probado antes. Como $R$ es finito, también es sobreyectiva, entonces es una biyección. Esto significa que cada elemento de $R$ se puede escribir como $aa_i$ para algún elemento $a_iin R$. En particular, el mismo $a$ se puede escribir de esta manera: existe $a_i_0in R$ tal que $a=aa_i_0=a_i_0a$.
Ahora afirmamos que $a_i_0$ es el elemento unidad de $R$: de hecho, sea $x=aa_i$ cualquier elemento en $R$. Entonces $$x=aa_i=(aa_i_0)a_i=(a_i_0a)a_i=a_i_0(aa_i)=a_i_0x$$ y también $$x=a_ia=a_i(aa_ i_0)=(a_ia)a_i_0=xa_i_0.$$ Denotaremos este elemento $a_i_0$ con $1$. Ahora, por el hecho de que $1$ está en $R$, $1$ se puede escribir como $1=aa_j$ para algún $a_jen R$. Pero entonces $a$ es invertible en $R$.
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