Solución:
Tú tienes sin otra opción que usar matrices de $ 4 times 4 $. Todas estas “representaciones” son realizaciones diferentes (relacionadas por transformaciones de similitud) de la solo posible representación irreductible del álgebra de Clifford que se extiende por el abstracto $ gamma ^ mu $. Esta representación, en cierto modo, es la definición de lo que es un “espinor de Dirac”, y suele ser una representación del grupo de cobertura del grupo de rotación, pero sólo una representación proyectiva del propio grupo de rotación. Además, es no siempre irreductible como una representación del grupo de rotación (por ejemplo, el espino 4D Diac se descompone en los dos espinores de Weyl y también en dos espinores de Majorana).
Puede mostrar en general que el álgebra de Clifford en $ (1, d-1) $ dimensiones tiene su solamente representaciones irreductibles dadas por un espacio vectorial de dimensión $ 2 ^ { lfloor {d / 2} rfloor} $, que es $ 2 ^ 2 = 4 $, considerando los “operadores de subida / bajada” $ { gamma ^ pm} ^ k = gamma ^ {2k} pm gamma ^ {2k + 1} $ en estrecha analogía con el método de operador de escalera habitual para $ mathfrak {su} (2) $. Resulta que el espacio formado por $ lvert s_1, dots, s_k rangle $ para $ s_i = pm 1/2 $ (los $ s_i $ son los valores propios de $ S ^ k = [gamma^{+k},gamma^{-k}]$) es el solamente representación irreductible no trivial consistente que puede construir. En dimensiones impares, hay dos diferentes de estos que se diferencian por quiralidad.
Otra forma usa el grupo de $ Gamma ^ M $ construido tomando productos $ gamma ^ { mu_1} dots gamma ^ { mu_k} $ para $ k leq d $ y $ mu_1 < mu_2 < puntos mu_k $. El $ M $ va desde $ 1 $ a $ 2 ^ d $ (otra cosa que uno debe mostrar ...). Cualquier representación irreductible del álgebra de Clifford es una representación grupal irreductible de este grupo.
Ahora considere $ S = sum_M rho ( Gamma ^ M) N sigma ( Gamma ^ M) ^ {- 1} $ para dos representaciones irreducibles $ rho $ de dimensión $ n $ y $ sigma $ de dimensión $ n ‘$ y cualquier $ n times n’ $ – matriz $ N $. Puedes demostrar que $ S rho ( gamma ^ M) = sigma ( gamma ^ M) S $, entonces $ S $ es un entrelazado, y por el lema de Schur o $ S $ es invertible, entonces $ n = n ‘$, o $ S = 0 $. Entonces, si hay dos representaciones irreductibles diferentes, esto dice que $ sum_M rho ( Gamma ^ M) N sigma ( Gamma ^ M) ^ {- 1} = 0 $ para cualquier elección de $ N $. Por lo tanto $$ sum_M rho ( Gamma ^ M) _ {kl} sigma ( Gamma ^ M) _ {ij} = 0 $$ para todos $ k, l, i, j $. Al elegir $ k = l $ y $ i = j $ sumando (es decir, tomando la traza de las dos matrices de forma independiente) y pensando en qué matrices gamma contribuyen a estas trazas, se puede concluir tanto para el caso par como para el impar que $ n = n ‘$ debe mantenerse, y que hay uno representación irreducible para pares $ d $ y dos de ellos para el caso impar.
Esa es una buena pregunta. Para responder a esto, comencemos con el álgebra de Clifford generada por matrices $ gamma $. begin {ecuación} gamma _ { mu} gamma _ { nu} + gamma _ { mu} gamma _ { nu} = 2 eta _ { mu nu} end {ecuación} con $ mu, nu = 0,1,2, cdots N $ con la firma métrica $ eta _ { mu nu =} text {diag} (+, -, -, -, cdots, -) $. Usando $ I $ y $ gamma _ { mu} $ podemos construir un conjunto de matrices como sigue begin {ecuación} I, gamma _ { mu}, gamma _ { mu} gamma _ { nu} quad ( mu < nu), gamma _ { mu} gamma _ { nu} gamma _ { lambda} quad ( mu < nu < lambda), cdots, gamma_ {1} gamma_ { 2} cdots gamma_ {N} end {ecuación} Hay begin {ecuación} sum_ {p = 0} ^ {N} binom {N} {p} = 2 ^ {N} end {ecuación } tales matrices. Vamos a llamarlos $ Gamma_ {A} $, donde $ A $ va desde $ 0 $ a $ 2 ^ {N} -1 $. Ahora, supongamos que $ gamma _ { mu} $ son $ d times d $ matrices irreductibles dimensionales. Nuestro objetivo es encontrar una relación entre $ d $ y $ N $. Con este fin, definamos una matriz begin {ecuación} S = sum_ {A = 0} ^ {2 ^ N-1} ( Gamma_ {A}) ^ {- 1} Y Gamma_ {A} end { ecuación}. Donde $ Y $ es una matriz $ d times d $ arbitraria. De ello se deduce que begin {ecuación} ( Gamma_ {B}) ^ {- 1} S Gamma_ {B} = sum_ {A = 0} ^ {2 ^ N-1} ( Gamma_ {A} Gamma_ {B}) ^ {- 1} Y Gamma_ {A} Gamma_ {B} = sum_ {C = 0} ^ {2 ^ N-1} ( Gamma_ {C}) ^ {- 1} Y Gamma_ {C} = S end {ecuación} Donde hemos usado $ Gamma_ {A} Gamma_ {B} = epsilon_ {AB} Gamma_ {C} $, con $ epsilon_ {AB} ^ {2 } = 1 $ Por tanto, begin {ecuación} S Gamma_ {A} = Gamma_ {A} S end {ecuación} Dado que $ S $ conmuta con todas las matrices del conjunto, por el lema de Schur llegamos a la conclusión de que $ S $ debe ser proporcional a la matriz de identidad para que podamos escribir begin {ecuación} S = sum_ {A = 0} ^ {2 ^ N-1} ( Gamma_ {A}) ^ {- 1} Y Gamma_ { A} = lambda I end {ecuación} Tomando el rastro obtenemos begin {eqnarray} text {Tr} S & = & sum_ {A = 0} ^ {2 ^ N-1} text {Tr} Y = lambda d \ Rightarrow lambda & = & frac {2 ^ {N}} {d} text {Tr} Y end {eqnarray} o begin {ecuación} sum_ {A = 0} ^ {2 ^ N-1} ( Gamma_ {A}) ^ {- 1} Y Gamma_ {A} = frac {2 ^ {N}} {d} text {Tr} Y end {ecuación} Tomando el elemento de matriz $ (j; m) $ de ambos lados de la última ecuación produce begin {ecuación} sum_ {A = 0} ^ {2 ^ N-1} ( Gamma_ {A }) ^ {- 1}) _ {jk} ( Gamma_ {A}) _ {km} = frac {2 ^ {N}} {d} delta_ {jm} delta_ {kl} end {ecuación } donde $ j; k; l; m = 1; 2; cdots; d $ y hemos utilizado el hecho de que Y es una matriz arbitraria $ d times d $. Si establecemos $ j = k; l = m $ y la suma de estos dos índices, da begin {ecuación} sum_ {A = 0} ^ {2 ^ N-1} text {Tr}[(Gamma_{A})^{-1}] text {Tr}[Gamma_{A}] = 2 ^ {N} end {ecuación} Hay dos casos a considerar, a saber, $ N $ par y $ N $ impar. Para $ N = 2M $ (par), $ text {Tr} Gamma_ {A} = 0 $ excepto para $ Gamma_ {0} = 1 $ para el cual $ text {Tr} Gamma_ {0} = d PS Lo que da begin {ecuación} d ^ 2 = 2 ^ N qquad text {o} quad boxed {d = 2 ^ {N / 2}} end {ecuación} Este es el resultado principal. Para el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de Minkowski $ N = 4 $ cosecuentemente, la dimensión de la representación irreducible es $ d = 2 ^ {4/2} = 4 $.