Solución:
El texto no es reclamando que el determinante es $ 0 $. El texto dice “¡Averigüemos para qué valores de lambda el determinante es $ 0 $!”
Entonces, el determinante es $ lambda ^ 2 – 10 lambda + 30 $, y desea encontrar el $ lambda $ tal que sea igual a cero. ¿A qué te dedicas? usted colocar es igual a cero y resuelve para $ lambda $. Es decir, resuelves la ecuación
$$ lambda ^ 2 – 10 lambda + 30 = 0 $$
Como para por qué está interesado en los valores de $ lambda $ que hacen que el determinante sea igual a $ 0 $, recuerde que
$$ rango (A- lambda I) = n iff det (A – lambda I) neq 0 $$
Entonces, si $ det (A- lambda I) neq 0 $, encontrará que el solamente solución a $ (A – lambda I) x = 0 $ es $ x = 0 $ (debido al hecho de que el rango de la matriz está completo, por lo tanto, el núcleo solo contiene el vector $ 0 $). Esto significa que el solamente $ x $ tal que $ Ax = lambda x $ es $ x = 0 $, lo que significa que $ x $ es no un vector propio.
Entonces, la única forma de tener vectores propios es hacer que el determinante de $ A – lambda I $ sea igual a cero, por eso, para encontrar valores propios, busca los valores de $ lambda $ que hacen que $ det (A – lambda I) = 0 $
Para una matriz cuadrada como $ M = (A – lambda I) $, la ecuación $ Mx = 0 $ tendrá una solución distinta de cero $ x $ si y solo si $ M $ no tiene una inversa, que es Verdadero si y solo si el determinante de $ M $ es $ 0 $.
El determinante de una matriz $ n times n $ $ M $ es igual a $ 0 $ si y solo si el rango de la matriz es menor que $ n $, lo que ocurre si y solo si el núcleo de la matriz no está vacío , lo que ocurre si y solo si existe algún vector $ x ne0 $ tal que $ Mx = 0 $.
Por lo tanto, $ lambda $ es un valor propio de $ A $ $ iff $ el determinante de $ A- lambda I $ es igual a $ 0 $.