Después de de esta larga selección de información dimos con la respuesta esta duda que pueden tener ciertos lectores. Te regalamos la solución y deseamos serte de mucha apoyo.
Solución:
Por lo que puedo decir, lo que necesitamos aquí es una comprensión intuitiva en lugar de matemática. La intuición se vuelve un poco borrosa por las expresiones matemáticas. Pero, si consideramos que los dos cuerpos en colisión tienen la misma masa, las expresiones se simplifican enormemente. Si bien no es obvio de inmediato, los resultados se aplican a combinaciones arbitrarias de masas.
Déjame ser masa en cuestión $ m $. Si llamamos a las velocidades iniciales de los dos cuerpos $ vec v_1 $ y $ vec v_2 $, y las velocidades finales $ vec v_1 ‘ $ y $ vec v_2 ‘ $ respectivamente, nuestra única restricción es que se debe conservar el impulso. Entonces:
$ m vec v_1 + m vec v_2 = m vec v_1 ‘ + m vec v_2’ $
Dado que consideramos que las masas son iguales, esto se reduce inmediatamente a:
$ vec v_1 + vec v_2 = vec v_1 ‘ + vec v_2’ $
Ahora, la velocidad del centro de masa (a veces lo llamamos centro de impulso, especialmente cuando se trata de sistemas relativistas) que llamaremos $ vec V $ es:
$ vec V = frac m vec v_1 + m vec v_2 m + m $
Nuevamente, en virtud de masas iguales se reduce fácilmente a:
$ vec V = frac vec v_1 + vec v_2 2 $
Si transformamos las velocidades iniciales a este nuevo marco, y llamamos a las respectivas velocidades iniciales de los cuerpos en este marco (centro de masa) $ vec u_1 $ y $ vec u_2 $, son:
$ vec u_1 = vec v_1 – vec V $
$ vec u_2 = vec v_2 – vec V $
Sustitución de la expresión por $ vec V $ rinde:
$ vec u_1 = vec v_1 – frac vec v_1 + vec v_2 2 $
$ vec u_2 = vec v_2 – frac vec v_1 + vec v_2 2 $
La simplificación conduce a:
$ vec u_1 = frac vec v_1 – vec v_2 2 $
$ vec u_2 = frac vec v_2 – vec v_1 2 $
Ooooh … Entonces, $ vec u_1 $ y $ vec u_2 $ son iguales y opuestos! Esto sugiere la definición de una velocidad relativa:
$ vec r = frac vec v_1 – vec v_2 2 $
Tal que ahora
$ vec u_1 = vec r $
$ vec u_2 = – vec r $
¿Por qué todo este problema? Todo este trabajo muestra esencialmente dos cosas:
-
En el marco del centro de masa, los cuerpos tienen la misma magnitud y velocidades de dirección opuestas.
-
En el cuadro original, las velocidades se pueden expresar como:
$ vec v_1 = vec V + vec r $
$ vec v_2 = vec V – vec r $
Si llamamos a la energía cinética en el marco original $ T $, podemos expresarlo como:
$ T = frac 1 2 m v_1 ^ 2 + frac 1 2 m v_2 ^ 2 $
Bien, $ v_1 ^ 2 $ es $ vec v_1 cdot vec v_1 $ y $ v_2 ^ 2 $ es $ vec v_2 cdot vec v_2 $. Entonces:
$ T = frac 1 2 m ( vec V + vec r) cdot ( vec V + vec r) + frac 1 2 m ( vec V – vec r) cdot ( vec V – vec r) $
Expandamos esta locura:
$ T = frac 1 2 m (V ^ 2 + r ^ 2 + 2 vec V cdot vec r) + frac 1 2 m (V ^ 2 + r ^ 2 – 2 vec V cdot vec r) $
Aquí ocurre un pequeño milagro. Hay una cancelación perfecta de los productos punto. Esta cancelación perfecta solo ocurre cuando $ vec V $ es la velocidad del centro de masa; para cualquier otro marco, los términos cruzados permanecerán. Como tal, el marco del centro de masa es especial. (Esto funciona igual de bien cuando las masas no son iguales, solo con expresiones más complicadas).
Nuestra expresión de energía cinética es ahora:
$ T = frac 1 2 metro V ^ 2 + frac 1 2 metro V ^ 2 + frac 1 2 señor ^ 2 + frac 1 2 señor ^ 2 $
Ahora, esto es realmente genial. La energía cinética se dividió en dos partes distintas. Uno, podemos llamar $ T_c $, que es la energía cinética debida al movimiento del centro de masa que es simplemente:
$ T_c = frac 1 2 m V ^ 2 + frac 1 2 m V ^ 2 $
La segunda parte, que podemos llamar $ T_r $, que es la energía cinética debida al movimiento relativo al centro de masa:
$ T_r = frac 1 2 señor ^ 2 + frac 1 2 señor ^ 2 $
Y por supuesto:
$ T = T_c + T_r $
Ahora, consideremos lo que sucede después de la colisión. En el marco del centro de masa (que es especial, como ahora sabemos) el momento total inicial es cero ($ m vec r – m vec r = vec 0 $) Entonces, el impulso final debe ser cero. Siguiendo el mismo razonamiento de transformación, las velocidades finales en el marco original se pueden expresar como:
$ vec v_1 ‘ = vec V + vec r’ $
$ vec v_2 ‘ = vec V – vec r’ $
Aquí, $ vec r ‘ $ es la velocidad relativa en el estado final (después de la colisión). Con prácticamente la misma derivación, la energía cinética final $ T ‘$ se puede expresar como (obviamente, en el marco original):
$ T ‘= T_c + T_r’ $
$ T_c = frac 1 2 m V ^ 2 + frac 1 2 m V ^ 2 $ (exactamente igual que antes)
$ T_r ‘= frac 1 2 m r’ ^ 2 + frac 1 2 m r ‘^ 2 $
Entonces, la energía cinética debida al movimiento del centro de masa no cambia. Eso se debe esencialmente a la conservación del impulso. Lo que puede cambiar es el movimiento relativo al centro de masa, que depende de los detalles (y la elasticidad) de la colisión.
Para una colisión perfectamente elástica,
$ | vec r | = | vec r ‘ | $
En general, por conservación de energía:
$ | vec r ‘ | leq | vec r | $
(A menos que se libere algo de energía de otra fuente, pero eso no es lo que estamos considerando aquí).
Para una colisión perfectamente inelástica, $ vec r ‘ = vec 0 $. La energía cinética después de la colisión será simplemente la energía debida al movimiento del centro de masa: el sistema se agrupa y sus “componentes” ya no transportan energía cinética.
Solo para repetir el key punto: El marco del centro de masa es especial en el sentido de que, la energía cinética en any_other_reference_frame se puede expresar como una suma de la energía cinética del centro de masa en ese marco de referencia, más las energías cinéticas de los cuerpos en el marco de referencia del centro de masa. Entonces, después de una colisión, dado que no se puede alterar la velocidad del centro de masa de un sistema sin la acción de fuerzas externas, esa parte de la energía cinética es fija. Lo que puede perder es la energía cinética de los cuerpos en el sistema debido al movimiento relativo al centro de masa. Y eso sucede solo en el caso de una colisión inelástica perfecta, donde los cuerpos se pegan juntos y están inmóviles en el centro del marco de masa.
Como tal, esa es la energía más cinética que se puede perder. QED.
Esto se puede convertir fácilmente en un cálculo.$ 1 $ Problema de minimización restringido.
Quiere minimizar la energía cinética total $$ K = frac12m_1v_1 ^ 2 + frac12m_2v_2 ^ 2 $$
dada la restricción de la conservación de monmentum
$$ m_1v_1 + m_2v_2 = p_0 $$
A continuación, puede mostrar fácilmente (el trabajo que le queda) que $ K $ se minimiza bajo esta restricción cuando $$ v_1 = v_2 = frac p_0 m_1 + m_2 $$
es decir, cuando los objetos se mueven a la misma velocidad. Por supuesto, dado que esto ocurre en una colisión perfectamente inelástica, este tipo de colisión minimiza la energía cinética del sistema.
Es un resultado importante que el energía cinética de un sistema de cualquier número de partículas, es mínimo en el marco de referencia adjunto al centro de masa. Entonces, si desea perder la máxima energía posible, debe terminar con una configuración final en el centro del marco de masa, de modo que ninguna de las partículas se mueva (esta es la energía cinética final más baja que puede lograr, es decir, 0). La situación anterior solo es posible, si todas las partículas se detienen en el centro del marco de masa justo después de la colisión, en otras palabras, todas las partículas “palo” a otro.
Este argumento es superior a los argumentos proporcionados en otras respuestas, ya que este argumento es válido para cualquier número de partículas que chocan simultáneamente.
Para el caso común de dos partículas, la energía cinética en el centro del marco de masa se puede escribir como
$$ KE _ rm COM = frac 1 2 frac m_1 m_2 m_1 + m_2 v _ rm rel ^ 2 $$
dónde $ m_1 $ y $ m_2 $ son las masas de las partículas, y $ v _ rm rel $ es la magnitud de la velocidad relativa de ambas partículas. Como era de esperar, si ambas partículas dejan de moverse (se quedan estacionarias o se pegan después de la colisión) en el centro del marco de referencia de masas $ v _ rm rel $ se vuelve cero y también lo hace la energía cinética. Y esta es la razón física que estás buscando.
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