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Solución:
Técnicamente hablando, la función $displaystylef(x) = fracsin xx$ es no Riemann integrable en $(0, infty)$, pero más bien incorrectamente Riemann integrable en $(0, infty)$.
La construcción de la integral de Riemann solo funciona para intervalos acotados. Podemos extender esta construcción a intervalos ilimitados como $(0, infty)$, pero eso requiere un proceso de limitación adicional. Es la primera construcción (integrales de Riemann para integrales acotadas) que generaliza la integral de Lebesgue.
También podría hacer la pregunta opuesta: ¿por qué definimos la integración de Riemann de tal manera que una integral puede ser convergente sin ser absolutamente convergente? La definición de cada tipo de integral “es lo que es”, y la forma en que se define la definición de Lebesgue no requiere integrales impropias como en la integración de Riemann.
Podríamos simular una integral impropia con integración de Lebesgue tomando un límite de integrales de Lebesgue sobre regiones acotadas. Pero eso no es algo que normalmente interese en la teoría de Lebesgue.
Las cosas que son de interés son los teoremas de convergencia como el teorema de convergencia dominada.
Teorema de la convergencia dominada: Si $(f_n)$ es una secuencia de funciones medibles, $|f_n|<|g|$ para $n in mathbbN$, $int |g| < infty$, y $f_nto f$ puntualmente luego $int f < infty$ y $int f_n to int f$.
En ese teorema, la función dominante $g$ debe ser absolutamente integrable. Su ejemplo, de hecho, se puede modificar para dar un contraejemplo a esta declaración:
Falso: si $(f_n)$ es una secuencia de funciones medibles, $|f_n|<|g|$ para $n in mathbbN$, $int g < infty$ cuando la integral se calcula en el sentido impropio , y $f_nto f$ puntualmente entonces $int f < infty$ (nuevamente en el sentido impropio) y $int f_n to int f$.
El teorema real requiere que $int |g|$ sea finito. Dado que ese es el tipo de condición con la que trabajamos la mayor parte del tiempo, usamos la palabra “integrable” para ahorrar espacio. Todavía podemos recuperar integrales impropias si es necesario, pero rara vez son de interés en el contexto de la integración de Lebesgue, por lo que no queremos gastar una buena palabra como “integrable” en ellas.
Tal vez le interese la integral de Henstock-Kurzweil (HK). Su definición es una fácil modificación de la integral de Riemann. Todas las funciones integrables de Lebesgue son integrables en el sentido HK, al igual que su función $sin(x)/x$. Los teoremas habituales de la teoría de Lebesgue (como el teorema de la convergencia dominada) tienen extensiones de la teoría de HK. Además de eso, la fórmula de Newton-Leibniz es válida para cualquier función que admita una antiderivada (que no es true en la teoría de Lebesgue).
Dicho esto, definitivamente necesitas la teoría de Lebesgue para espacios diferentes de $mathbbR^n$. Observe también que $mathbbR^2$ es isomorfo a $mathbbR$ como espacio de medida (y que cualquier espacio de medida sensible es isomorfo a un intervalo); perderías esta unidad si quisieras, por ejemplo, que $sin(x)/x$ fuera integrable.
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