Solución:
Se establece el teorema de la divergencia (usando la notación de cálculo vectorial)
$$ iiint_ V vec nabla cdot vec F dV = iint _ parcial V vec F cdot vec n dS $$
Para algunos $ C ^ 1 $ campo vectorial $ vec F $. Si consideramos, digamos, el campo eléctrico de una partícula puntual:
$$ vec E = alpha frac vec e_r r ^ 2 $$
por alguna constante $ alpha $, luego $ E $ no es diferenciable (ni siquiera definido) en $ r = 0 $.
Así que aquí hay dos formas de lidiar con esto:
Quita el punto
Simplemente podemos considerar que nuestro volumen es $ V = B_ 0, R setminus B_ 0, varepsilon $, y luego considere el límite $ varepsilon a 0 $. Podríamos tomar $ varepsilon = 0 $ directamente, pero luego estaríamos integrando una divergencia en un conjunto de medida cero, lo cual tampoco es una gran idea.
El límite son solo las dos esferas que delimitan esas regiones. Veamos qué pasa. Primero, usando la fórmula para la divergencia en coordenadas esféricas (esto es bastante simple ya que hay simetría radial),
begin eqnarray vec nabla cdot vec E & = & 0 end eqnarray
Esto no es demasiado sorprendente: fuera de $ r = 0 $, no hay cargos. Por otro lado, considere la integral en el límite. El vector normal es simplemente $ pm vec e _r $, el signo depende de la esfera que estemos considerando (el vector normal tiene que apuntar en dirección opuesta al volumen).
begin eqnarray iint_ S_ 0, R cup S_ 0, varepsilon ( vec E cdot vec n) r ^ 2 sin theta d theta d varphi & = & iint_ S_ 0, R ( vec E cdot vec n) r ^ 2 sin theta d theta d varphi + iint_ S_ 0 , varepsilon ( vec E cdot vec n) r ^ 2 sin theta d theta d varphi \ & = & iint_ S_ 0, R E_r r ^ 2 sin theta d theta d varphi – iint_ S_ 0, varepsilon E_r r ^ 2 sin theta d theta d varphi end eqnarray
los $ r ^ 2 $ de la medida de volumen integral se cancela con el $ r ^ 2 $ del campo, y todo solo depende del ángulo sólido de nuestras esferas. Como ambos son esferas llenas, esto es solo
begin eqnarray 4 pi – 4 pi = 0 end eqnarray
Todo está bien: para cualquier barrio que no incluya el origen, a una distancia arbitrariamente pequeña $ varepsilon $, se cumple el teorema de la divergencia. Sin embargo, esto no nos ayuda mucho con la informática.
Usar distribuciones
Las funciones no están bien equipadas para lidiar con cargos puntuales. Lo que técnicamente tenemos es que esas integrales deben ser iguales a la carga $ Q $, pero como la distribución de carga está activada $ r = 0 $, un conjunto de medida cero, cualquier integral debe ser cero. Entonces, en cambio, consideramos la distribución delta de Dirac.
Una distribución es un mapa lineal desde funciones suaves de soporte compacto hasta $ mathbb R $. es decir, si tiene una distribución $ f $ y una función suave de soporte compacto $ phi $, luego $ f[phi] in mathbb R $. Hay un mapa definido así: si $ f $ es una función, entonces puedes definir una distribución a partir de ella usando la identidad
$$ f[phi] = int f (x) phi (x) dx $$
En particular, la función delta de Dirac está definida por
$$ delta _ vec x[phi] = phi ( vec x) $$
Aplicar la distribución de Dirac en una función devuelve el valor de esa función en un punto fijo $ vec x $. En nuestro caso, esto es solo $ delta_0 $.
Los derivados sobre distribuciones (llamados derivados débiles) se definen por el hecho de que, si $ f $ es una distribución, $ f ‘$ actúa sobre $ phi $ como
$$ f ‘[phi] = – f[phi’]$$
Esto corresponde a la integración por parte. Ahora consideremos $ F $ como distribución (o tres distribuciones para cada componente, esto no importa demasiado). El lado izquierdo del teorema de divergencia correspondería aproximadamente a $ ( vec nabla cdot vec E)[phi]PS. Ahora $ vec E $ en sí mismo es una función, por divergente que sea. Podemos encontrar su derivada débil considerando la fórmula anterior. Ya que $ E_r $ es una función (podemos descartar los otros componentes ya que todos son cero)
begin eqnarray frac 1 r ^ 2 frac parcial (r ^ 2 E_r) parcial r [phi] & = & – E_r [partial_r phi]\ & = & – int frac alpha r ^ 2 ( partial_r phi) r ^ 2 sin theta dr d theta d varphi \ & = & – int ( partial_r phi) sin theta dr d theta d varphi \ & = & -4 pi [phi]^ infty_0 \ & = & 4 pi phi (0) end eqnarray
Esto se debe a que 1) el teorema fundamental del cálculo 2) como función es de soporte compacto, $ phi ( infty) = 0 $. Por lo tanto, la derivada de $ E_r[phi]PS da $ 4 pi phi (0) $, así es $ 4 pi delta_0 $.
Por supuesto, generalmente los físicos fingen que $ delta $ es una función, con la propiedad
$$ int delta (x) f (x) dx = f (0) $$
Si bien esto es malo, hace que todo sea mucho más fácil de manejar. Existe una teoría adecuada para tratar el teorema de la divergencia con distribuciones, pero dejaré que la lea si realmente quiere la prueba adecuada de esto. Para la prueba más casual, simplemente tenemos que
begin eqnarray iiint_ B_ 0, R vec nabla cdot vec E dV & = & iiint_ V 4 pi alpha delta (x) dV \ & = & 4 pi alpha \ iint _ parcial S_ 0, R vec E cdot vec n dS & = & iint _ parcial S_ 0, R frac alpha R ^ 2 R ^ 2 sin theta d theta d varphi \ & = & 4 pi alpha end eqnarray
Todo está muy bien.
Un tercer método en algún lugar entre los dos habría sido considerar el límite de una distribución de carga que se acerca a la de una carga puntual, como una distribución normal en el límite. $ sigma a 0 $, ya que las distribuciones también se pueden considerar como el límite de secuencias de funciones.
Proceder de la siguiente.
En primer lugar, acepte que la noción de carga puntual (con una cantidad finita de carga pero sin volumen) es en sí misma una abstracción matemática que puede ser útil o apropiada o no al tratar con cualquier análisis.
A continuación, trate una pequeña región cargada, digamos una esfera, con densidad de carga finita y campos finitos.
Finalmente, deje que el tamaño de esa región tienda a cero y retenga los términos principales en las cantidades que le interesan.
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