Hola usuario de nuestro sitio, encontramos la respuesta a tu pregunta, has scroll y la encontrarás un poco más abajo.
Solución:
Sí, se puede realizar el forzamiento sin el supuesto de transitividad, e incluso la contabilidad del modelo no es importante.
Una de las formas estándar de hacer esto es con la construcción del cociente del modelo con valores booleanos, que se ha descrito en muchos lugares. Básicamente, dada una noción forzada $B$, un álgebra booleana completa (tome la terminación si solo tiene un orden parcial), forme la clase de todos los nombres $B$ y luego defina los valores booleanos $[![varphi]!]^B$. Esto se puede hacer internamente a cualquier modelo $M$. Si $Usubset B$ es cualquier ultrafiltro, no hay necesidad de genericidad de ningún tipo, e incluso $U$ dentro de $M$ está bien, entonces define el cociente $M^B/U$ por la relación de equivalencia $$ sigma =_Utauquadiffquad[![sigma=tau]!]in U,$$ que es una congruencia con respecto a la relación $$sigmain_Utauiff
[![sigmaintau]!]in U.$$ Se verifica entonces la propiedad del teorema de Łoś de que $M^B/Umodelsvarphiiff[![varphi]!]en U$, por lo que $M^B/U$ es un modelo de cualquier sentencia cuyo valor booleano está en $U$.
Para construir un modelo de ZFC+$neg$CH, por ejemplo, comience con cualquier modelo $MmodelstextZFC$, y sea $Usubset B$ cualquier ultrafiltro en el álgebra booleana que surja del forzamiento de Cohen a suma $aleph_2$ muchos reales Cohen. El modelo $M^B/U$ satisfará ZFC+$neg$CH. ¡No es necesario que $M$ sea contable o transitivo!
Puede encontrar más detalles extensos en mi artículo, Ultrapotencia booleana bien fundada como grandes incrustaciones cardinales, que incluye una discusión de lo que llamo el cuenta naturalista de forzar, que describe cómo uno puede tomar el discurso común de los teóricos de conjuntos de “forzar sobre $ V $” al pie de la letra.
Actualizar. Déjame responder a tu comentario y pregunta aclarada. Desea saber dónde falla el argumento comúnmente utilizado con modelos transitivos contables sin esas suposiciones. Así que déjame explicarte.
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La contabilidad se usa claramente para encontrar el filtro genérico. Estrictamente hablando, uno no necesita que todo el modelo sea contable, sino que el modelo $M$ tiene solo muchos subconjuntos contablemente densos de la noción de forzamiento $P$ que se usa para el forzamiento. Por ejemplo, uno puede encontrar fácilmente filtros genéricos para cualquier noción forzada en un modelo similar a $omega_1$, que es un modelo incontable cuyos segmentos iniciales de rango son contables. De manera más general, es suficiente si solo hay muchas anticadenas máximas contables para el forzamiento, ya que cumplirlas es suficiente para la genericidad. Uno puede relajar esto un poco en ciertos casos. Por ejemplo, si tiene el axioma de Martin o algún otro axioma de forzamiento, y si $M$ tiene menos que un continuo muchos conjuntos densos abiertos para una noción de forzamiento P que resulta ser ccc en el universo ambiental, entonces será una instancia del forzamiento axioma para saber que hay un filtro $M$-genérico. Y de manera similar con el forzamiento adecuado y PFA y así sucesivamente. Estas son algunas formas en las que puede prescindir de la suposición de contabilidad y aun así obtener un filtro genérico.
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Transitividad. El uso de la transitividad en el enfoque de CTM para forzar se usa de manera crítica en la definición de lo que $M[G]$ es. Es decir, normalmente se define $M[G]$to consta de todas las interpretaciones de los nombres $tau$ en $M$ por $G$, definiendo el valor $$newcommandvaltextvalval(tau,G)=\ val(sigma,G)midexists pin G langlesigma,pranglein tau.$$ Esta definición tiene lugar por $in$-inducción en un reino donde ambos $ M$ y $G$ existen. Parece que uno no puede llevar a cabo esta inducción sobre los nombres si el modelo no es $in$ estándar o al menos no está bien fundamentado, y por lo tanto este es el principal punto de falla con el enfoque habitual de CTM para forzar. Sin transitividad o al menos fundamentación, no parece que sepamos exactamente qué $M[G]$ debería significar. Este problema se aborda en la construcción del cociente del modelo con valores booleanos definiendo $M[G]$ como un cociente por una relación de equivalencia, en lugar de por el procedimiento de valor inductivo de $in$. Además, si $G$ es $M$-genérico para un modelo $M$ no bien fundamentado, entonces, de hecho, después de formar el modelo $M[G]$ por la construcción del cociente $M^B/G$, luego dentro de $M[G]$ uno puede ver que surge internamente a través de la construcción de valores de nombres. Pero el punto es que sin haber proporcionado primero una definición alternativa de lo que $M[G]$ es, al principio uno no parece capaz de llevar a cabo ese proceso de nombre-valor, porque la inducción tiene lugar en contexto con $M$ y $G$ ya disponibles. (Y este punto sutil, creo, parece ser la respuesta a su pregunta actualizada por la revisión).
Puede consultar el artículo “Forzar con modelos no bien fundamentados”. Australas. Registro J. 5 (2007), 20–57, por Paul Corazza:
Aquí está el resumen del artículo:
Desarrollamos la maquinaria para realizar forzamiento sobre un modelo arbitrario (posiblemente no bien fundamentado) de teoría de conjuntos. Para obtener resultados de consistencia, esta maquinaria es innecesaria ya que tales resultados siempre pueden obtenerse legítimamente suponiendo que el modelo base es (contable) transitivo. Sin embargo, para establecer las propiedades de un modelo dado (posiblemente no bien fundado), la maquinaria completamente desarrollada de forzamiento como medio para producir nuevos modelos relacionados puede ser útil. Desarrollamos el forzado a través del forzado iterado, en paralelo con los pasos estándar de presentación en [K. Kunen, Set theory, North-Holland, Amsterdam, 1980] y [T. J. Jech, in Handbook of Boolean algebras, Vol. 3, 1197–1211, North-Holland, Amsterdam, 1989].”
Este es realmente un comentario sobre la respuesta de Hamkins, pero no tengo permitido hacer comentarios, así que lo escribiré como respuesta.
Usando la maquinaria estándar de Schoenfield para forzar, no hay necesidad de un modelo bien fundamentado. La teoría del forzamiento se desarrolla íntegramente dentro del modelo $M$, incluyendo la definición de la clase de nombres y la relación de forzamiento. Esto usa el axioma de fundamento dentro de $M$, pero no el de fundamento externo. Dado un conjunto genérico definido externamente $G$, entonces, $M[G]$ es simplemente el conjunto de clases de equivalencia de nombres bajo la relación $dot x equiv dot y iff exists pin G ( MvDash pvdash dot x = dot y)$.
Esto es, por supuesto, esencialmente equivalente a la respuesta de Hamkins.
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