Este equipo de expertos luego de algunos días de investigación y recopilación de de datos, obtuvieron la respuesta, esperamos que resulte de utilidad en tu proyecto.
Solución:
¿Por qué estudiar teoría de conjuntos?
Nos gusta pensar que las matemáticas se desarrollaron a partir de la necesidad de nuestros antiguos de contar cosas. Yo tengo cuatro ovejas, tú tienes dieciséis camellos, mi tribu tiene diez docenas de hombres, tienes seiscientas esposas … etc. etc. poder y reunirlos en una sola colección. La “colección de todas las ovejas que tengo”, o la “colección de hombres de mi tribu”, etc.
Llegaron conjuntos para solucionar un problema similar. Los conjuntos son colecciones de objetos matemáticos que a su vez son objetos matemáticos.
Esto, por supuesto, no significa que debamos aprender la teoría de conjuntos solo para ese propósito. Las aplicaciones de la teoría de conjuntos no son inmediatas para colecciones finitas, o más bien colecciones suficientemente pequeñas. No necesitamos pensar en pares o conjuntos con cinco elementos como objetos particulares. Todo lo que queramos hacer con ellos lo podemos hacer prácticamente a mano.
Los sets entran en juego cuando quieres hablar de sets infinitos. Los conjuntos infinitos recopilan infinitos objetos en una sola colección. El conjunto de números naturales, el conjunto de conjuntos finitos de conjuntos de conjuntos de números naturales, el conjunto de conjuntos de conjuntos de conjuntos de conjuntos de conjuntos de números irracionales, etc. Una vez que se establece que los objetos matemáticos pueden agruparse en otros objetos matemáticos puedes empezar a analizar su estructura.
Pero aquí viene el problema. Los conjuntos infinitos desafían nuestra intuición, que proviene de conjuntos finitos. Las muchas paradojas del infinito que incluyen la paradoja de Galileo, el Gran Hotel de Hilbert, etc., son todas paradojas que llegan a retratar la naturaleza del infinito como contraintuitiva para nuestra intuición física.
Estudiar la teoría de conjuntos, incluso ingenuamente, es la columna vertebral técnica de cómo manejar conjuntos infinitos. Dado que la matemática moderna se ocupa de muchos conjuntos infinitos, más grandes y más pequeños, es una buena idea aprender acerca de los conjuntos infinitos si se desea comprender mejor los objetos matemáticos.
Y uno puede estudiar, ingenuamente, mucha teoría de conjuntos, especialmente bajo la tutela de un buen maestro que realmente enseñará teoría axiomática de conjuntos de una manera ingenua. Y este tipo de aprendizaje puede, y quizás debería, incluir discusiones sobre el axioma de elección, sobre los ordinales y sobre los cardinales. Como dijo Ittay, estoy de acuerdo en que los ordinales y los cardinales son dos formas de contar, que se extienden más allá de nuestra comprensión intuitiva de que el conteo se realiza a través de números naturales y nos permiten contar objetos infinitos.
Si se combinan estas ideas con los conceptos básicos de la lógica de primer orden, el cálculo de predicados y la lógica básica de primer orden, se comprende cómo se puede utilizar la teoría de conjuntos como base para las matemáticas modernas. Lo cual, nuevamente, nos permite ver mejor algunas partes de las matemáticas.
La teoría de conjuntos axiomáticos, por otro lado, es un campo matemático como cualquier otro. Tiene cierto tipo de problemas típicos, y los teóricos de conjuntos trabajan en sus formas típicas o atípicas para resolverlos, o al menos comprenderlos mejor. Sin embargo, la teoría axiomática de conjuntos maneja mejor los problemas detallados que provienen del infinito.
¿Por qué me refiero a eso? Muchos de los conjuntos infinitos en las matemáticas modernas son contables o tienen un tamaño continuo. Rara vez nos encontramos con conjuntos más grandes (por ejemplo, el conjunto de todos los conjuntos medibles de Lebesgue es más grande), pero incluso entonces rara vez nos preocupamos por eso. Pero ahora que entendemos mejor los conjuntos infinitos, podemos hacer preguntas como “Dado un grupo abeliano con tales y tales propiedades, ¿es necesariamente libre [abelian]?“normalmente podemos probar este tipo de teoremas para objetos contables, en este caso grupos contables, pero no más allá de eso.
A veces nos interesa la topología, que nos permite extender nuestro control de objetos contables a cosas que se pueden aproximar “de buena manera” con objetos contables (como espacios separables). Pero incluso entonces podemos hacer preguntas que involucren objetos arbitrarios, y no necesariamente uno que tenga “propiedades agradables”.
Resulta que nuestra falta de intuición para conjuntos infinitos se refleja en la falta de “estructura demostrable ingenuamente” de conjuntos infinitos. Ni siquiera podemos determinar de manera demostrable cuántas cardinalidades distintas se encuentran entre la cardinalidad de $ Bbb N $ y $ Bbb R $. Puede que no sea ninguno, o puede que sean uno o dos o muchos más. Aquí entra en juego la teoría axiomática de conjuntos.
La teoría de conjuntos axiomáticos se ocupa de los axiomas adicionales que podemos exigir que tenga el universo de la teoría de conjuntos y de cómo afectan a la estructura de los conjuntos infinitos. Y esta es también la importancia de la teoría de conjuntos para la investigación matemática. Se trata de resolver la existencia o qué tipo de supuestos necesitamos para probar o refutar la existencia de ciertos objetos.
Estos objetos, aunque aparentemente arbitrarios, pueden tener una gran influencia y fuertes efectos en la estructura de “conjuntos matemáticamente interesantes”. Por ejemplo, sabemos que cada conjunto de Borel es medible según Lebesgue. Pero la imagen continua de un conjunto Borel no tiene por qué ser Borel. ¿Es Lebesgue medible? Resulta que sí, pero si cerramos los conjuntos de Borel bajo complementos y funciones continuas, ¿serán los conjuntos resultantes medibles según Lebesgue? ¿Satisfacerán algún tipo de “hipótesis del continuo”? ¿Tendrán la propiedad de Baire? Y otras cuestiones, que son todas bastante naturales, originaron todo tipo de conjuntos extraños de objetos teóricos y axiomas que afirman su existencia.
Y si me preguntas, es por eso que debemos aprender la teoría de conjuntos y cuál es su importancia. Nos permite comprender mejor los objetos infinitos y las suposiciones necesarias para controlar mejor su comportamiento.
Teoría de conjuntos ingenua:
La teoría de conjuntos es el lenguaje común para hablar sobre matemáticas, por lo que aprender la teoría de conjuntos significa aprender el lenguaje común. Otro aspecto es el de contar. La cardinalidad de conjuntos es una noción muy fundamental que puede tratarse ingenuamente con bastante eficacia. La cardinalidad significa contar, por lo que aprender la teoría de conjuntos significa aprender a contar (más allá de los números finitos). Una aplicación clásica es la prueba de la existencia de números trascendentales. Por último, la teoría de conjuntos está firmemente vinculada con la lógica, por lo que aprender la teoría de conjuntos significa aprender lógica, que usamos todo el tiempo.
Teoría de conjuntos axiomáticos:
La teoría de conjuntos es tan fundamental que la única forma de estudiarla rigurosamente es axiomáticamente. Además, muy temprano en el estudio ingenuo de conjuntos, uno se encuentra con preguntas muy simples que no pueden responderse. Por ejemplo, ¿cada subconjunto de los reales tiene cardinalidad de los reales o de los naturales? Otro problema es el axioma de elección que, por un lado, es equivalente a muchos, obviamente true declaraciones, así como obviamente false declaraciones. Esta situación requiere un estudio axiomático cuidadoso y, por supuesto, hay varias axiomatizaciones diferentes que dan lugar a diferentes teorías de conjuntos, lo que hace que todo sea más divertido.
Para ampliar la publicación de Ittay Weiss, y tal vez esto no sea exactamente lo que está buscando, pero la teoría de conjuntos se ocupa del universo matemático. Más concreta, la teoría de conjuntos tiene la capacidad de describir resultados de independencia. Este, en mi opinión, es el verdadero importancia en la teoría de conjuntos. Como Ittay aludió anteriormente, considere $ mathbb R $. ¿Existe un conjunto $ A $ tal que $ | mathbb N | <| A | <| mathbb R | $? La teoría de conjuntos nos ha demostrado que la solución a esta pregunta está más allá de nuestra intuición (ZFC). Es $ posible $ construir modelos del universo teórico de conjuntos donde este enunciado es true así como construir universos donde esta declaración es false. Por lo tanto, podemos nunca se sabe la solución a esta pregunta.
Además, la existencia de ciertos objetos combinatorios también es independiente de nuestra intuición. Sin embargo, también debe tenerse en cuenta que la teoría de conjuntos no existe en una burbuja. Los resultados de la teoría de conjuntos se traspasan a otras áreas de las matemáticas. Considere, por ejemplo, la solución de Shelah al problema de Whitehead. Los resultados de independencia aparecen en todas las matemáticas y es el trabajo de la teoría de conjuntos explicar por qué y cómo ocurren estos resultados de independencia.
Observación: He tratado de tener cuidado con mi redacción y he tratado de no decir nada incorrecto. Sin embargo, la filosofía de la teoría de conjuntos es un campo vivo y se necesitaría un año de estudio para comprender los argumentos de Woodin, Hamkins y otros que han discutido estos temas en profundidad. Lo anterior es solo mi humilde opinión.