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Solución:
También sabemos que en realidad una pluma de plomo cae mucho más rápido que una pluma de pato con exactamente las mismas dimensiones/estructura, etc.
No, no en realidad, en aire. En el vacío, digamos, en la superficie de la luna (como se demuestra aquí), caen a la misma velocidad.
¿Existe una explicación matemática más formal de por qué uno cae más rápido que el otro?
Si los dos objetos tienen la misma forma, el arrastrar la fuerza sobre cada objeto, en función de la velocidad $v$, es la misma.
La fuerza total que acelera el objeto. hacia abajo es el diferencia entre la fuerza de gravedad y la fuerza de arrastre:
$$F_neto = mg – f_d(v)$$
La aceleración de cada objeto es entonces
$$a = fracF_netom = g – fracf_d(v)m$$
Tenga en cuenta que en ausencia de arrastre, la aceleración es $g$. Con arrastre, sin embargo, la aceleración, a una velocidad dada, se reduce en
$$fracf_d(v)m$$
Para la pluma de plomo mucho más masiva, este término es mucho más pequeño que para la pluma de pato.
Una buena aproximación de la fuerza de arrastre de un objeto que cae a través de la atmósfera es $-cv^2$, con $c$ una constante independiente de la masa. Por lo tanto, $$m dotv = mg – cv^2$$ es la ecuación de movimiento con condición inicial $v(0)=0$. Escribimos $$ t = m int_0 ^v(t) fracdvmg -cv^2$$ y el resultado final es $$ v (t) = sqrtfracmg c tanh left( t sqrt fracgcm right),$$ que es una función que aumenta a medida que $m$ aumenta para $t$ constante, por lo tanto, los objetos más pesados caen más rápido que más ligeros en presencia de arrastre debido al aire. La velocidad terminal es $$lim_tto infty v(t) = sqrtfracmgc.$$ Para una persona en caída libre con arrastre, la velocidad terminal es de aproximadamente 50 Sra.
El análisis anterior depende del hecho de que la sección transversal del objeto que cae permanece constante, que a menudo está lejos de true y altera significativamente el resultado, ya que, por ejemplo, una pluma se curva al caer mientras que una pluma de la misma forma hecha de metal no se curvará y será más pesada, haciendo que la diferencia en la velocidad de caída sea más pronunciada. De hecho, una gráfica con $c$ variable, que es $propto A^-1$ con $A$ la sección transversal, indica que el efecto de la sección transversal sobre la velocidad es mucho más importante que el de las diferentes masas. Además, asumimos que las corrientes de viento y la turbulencia son insignificantes, otra suposición que puede cambiar significativamente el resultado en condiciones reales.
Editar:
Este análisis, como se anticipó, puede fracasar estrepitosamente si se tiene en cuenta que un objeto asimétrico en general gira de forma caótica si supera cierto ángulo umbral, del que se puede decir que depende de la densidad, cf. Este artículo
Respuesta corta: ¡resistencia al aire!
La gravedad está actuando en ambas plumas, la más masiva recibe un tirón más fuerte hacia abajo. La resistencia del aire contrarresta ese movimiento y es proporcional a la velocidad (de una manera muy compleja, referencias aquí y aquí)
Ese tirón más fuerte ayuda a superar la creciente fuerza de oposición de arrastre. Es por eso que la pluma de plomo acelerará más rápido y alcanzará una velocidad terminal mayor.
El mismo principio se aplica a los coches de carreras. Dos coches, de la misma forma, el que tenga el motor más potente puede acelerar más y alcanzar una mayor velocidad máxima.
Otro ejemplo: los paracaidistas generalmente visten algo para aumentar la resistencia del aire y se paran en una posición para ayudar a que la resistencia reduzca la velocidad terminal y aumente el tiempo de caída. Un saltador de pie caerá mucho más rápido.
Editar
Después de una discusión sobre el efecto de flotabilidad, busqué un rato sobre la densidad de las plumas de un pájaro, un valor que no es fácil de obtener. Encontré esta referencia (es un documento .pdf) sobre la pluma de pollo y contiene muchas consideraciones sobre la densidad. Después de la lectura podemos usar un valor de 0,89g/cm3 y que es casi tan denso como el agua. Entonces cualquier efecto de flotabilidad es insignificante. Si todavía queremos hablar de fuerzas insignificantes, podemos elegir también la variación de la gravedad en la altitud o el efecto de la física relativista sobre la aceleración de un cuerpo.
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