Solución:
El problema es lo que descubrió Konstantin Tsiolkovsky hace 100 años: a medida que aumenta la velocidad, aumenta la masa requerida (en combustible) exponencialmente. Esta relación, específicamente, es $$ Delta v = v_e ln left ( frac m_i m_f right) $$ donde $ v_e $ es la velocidad de escape, $ m_i $ la masa inicial y $ m_f $ la misa final.
Lo anterior se puede reorganizar para obtener $$ m_f = m_ie ^ – Delta v / v_e qquad m_i = m_fe ^ Delta v / v_e $$ o tomando la diferencia entre los dos, $$ M_f = 1 – frac m_f m_i = 1-e ^ – Delta v / v_e $$ donde $ M_f $ es la fracción de masa de escape.
Si asumimos que partimos del reposo para alcanzar los 11,2 km / s (es decir, la velocidad de escape de la Tierra) con una constante $ v_e = 4 $ km / s (velocidad típica de los cohetes de la NASA), necesitaríamos $$ M_f = 1- e ^ – 11.2 / 4 = 0.939 $$ lo que significa que casi el 94% de la masa en el lanzamiento debe ser combustible. Si tenemos una embarcación de 2000 kg (aproximadamente del tamaño de un automóvil), necesitaríamos casi 31.000 kg de combustible en una embarcación de ese tamaño. El propulsor líquido tiene una densidad similar a la del agua (por lo que 1000 kg / m $ ^ 3 $), por lo que necesitaría un objeto con un volumen de 31.0 m $ ^ 3 $ para sostenerlo. El interior de nuestro objeto del tamaño de un automóvil sería de alrededor de 3 m $ ^ 3 $, ¡un factor de 10 demasiado pequeño!
Esto significa que necesitamos un más grande artesanía que significa más ¡combustible! Y explica por qué esta relación masa-velocidad se ha denominado “la tiranía del problema de los cohetes”.
Esto también explica el hecho de que los cohetes modernos tienen varias etapas. En un intento por aliviar el combustible requerido, una vez que una etapa usa todo su combustible, se libera del cohete y se enciende la siguiente etapa (hacer esto sobre tierra es peligroso por razones obvias, por lo que la NASA lanza cohetes sobre el agua), y la masa de la nave se reduce por la masa del escenario (vacío). Se puede encontrar más sobre esto en estas dos publicaciones de Physics.SE:
- ¿Por qué los cohetes tienen múltiples etapas?
- ¿Por qué los cohetes arrojan los tanques de combustible?
TL; DR: Esta respuesta llega aproximadamente a la misma conclusión que la respuesta de Kyle Kanos, es decir, además de las consideraciones de carga útil, la dificultad radica en llenar un pequeño cohete con una masa de combustible que exceda la masa del propio cohete. Sin embargo, esta respuesta es más rigurosa en la forma en que se trata el presupuesto $ Delta v $.
La ecuación del cohete:
Considere la ecuación del cohete Tsiolkovsky, que describe el movimiento de vehículos que se impulsan expulsando parte de su masa con cierta velocidad. A continuación se ofrece una versión simplificada que solo tiene en cuenta la gravedad (constante) y el empuje:
$$ Delta v (t) = v_e cdot ln frac m_0 m (t) – g left ( frac m_f dot m right) $$ donde $ v_e $ es la velocidad de escape efectiva, $ m_f $ es la masa del combustible a bordo, $ dot m $ es la velocidad de combustión de la masa (constante con respecto al tiempo), $ m_0 $ es la masa inicial del cohete y $ m ( t) $ es la masa actual del cohete.
Tenga en cuenta que esta es esencialmente una ecuación de intercambio de impulso: tiene una cantidad finita de impulso disponible a partir de la expulsión de combustible, que debe gastar en aumentar la velocidad del cohete + el sistema de combustible restante, así como vencer la gravedad (es decir, arrastrando el planeta ligeramente). Una forma de la ecuación de Tsiolkovsky que no tenga esto en cuenta (como en la otra respuesta) le dará resultados no físicos.
Variables restringidas:
Ahora bien, ¿con qué podemos jugar en esta ecuación? Suponiendo que $ t_ escape $ es el momento en el que el cohete escapa de la gravedad de la Tierra:
- $ Delta v (t_ escape) $ es simplemente nuestra velocidad de escape deseada (asumiendo que el cohete comienza desde el reposo), que viene dictada por el lugar al que intentamos enviar el cohete
- $ m (t_ escape) $ será óptimamente la masa del cohete sin combustible
- La velocidad de escape efectiva $ v_e $ y la tasa de flujo másico $ dot m $ son una función del tipo de motor / propulsor disponible
Esto significa que ninguna de estas cantidades es negociable; estamos limitados por las demandas de la misión y la tecnología disponible.
Desarrollando una relación entre cohete y masa de combustible:
Todo lo que nos queda para jugar son las masas iniciales del combustible del cohete $ m_f $ y el cuerpo del cohete $ m_r $. Sustituyamos los valores de $ v $ y $ m $ en el instante en que el cohete escapa de la gravedad, notando que $ m_0 = m_f + m_r $:
$$ begin align v_ escape & = v_e cdot ln frac m_f + m_r m_r – g left ( frac m_f dot m right) \ & = v_e cdot ln left (1 + frac m_f m_r right) – g left ( frac m_f dot m right) end align $$
Reordenando, tenemos:
$$ m_r = m_f cdot left ( exp left ( frac v_ esc + g left ( frac m_f dot m right) v_e right) -1 derecha) ^ – 1 $$
Tenga en cuenta que esto proporciona efectivamente $ m_r $ como una función de $ m_f $, ya que todos los demás parámetros están fijados por las restricciones de la misión y el equipo, así como por las constantes ambientales. Dado que la relación no es obvia de inmediato, aquí hay una gráfica de $ m_r $ contra $ m_f $ para valores seleccionados de las constantes:
En rojo, tenemos una gráfica de la masa del cohete versus la masa de combustible inicial, mientras que en azul tenemos una gráfica de la proporción de la masa de combustible inicial a la masa total. Tenga en cuenta que el eje de la gráfica azul comienza en 0.9!! Esto indica que, independientemente de la masa del cohete que eligió, la masa inicial neta de su vehículo tendría que consistir casi en su totalidad en combustible.
Entonces, ¿qué significa esto?
Llenar un vehículo con una masa de combustible superior a la suya es cada vez más difícil para los cohetes pequeños, pero no tanto para los cohetes mucho más grandes (piense en cómo el volumen encerrado de un cuerpo hueco se escala frente a la masa). Por eso, fabricar cohetes cada vez más pequeños se vuelve cada vez más difícil.
Además, un límite mínimo en la masa del cohete que podemos elegir viene impuesto por el peso de la carga útil que debe transportar, que puede ser cualquier cosa, desde un satélite hasta una sola persona.
Límite superior de carga útil:
Algo muy interesante sucede cerca del punto de inflexión de la curva masa del cohete – masa del combustible. Antes del punto de inflexión, agregar más combustible nos permitió elevar una carga útil más grande a la velocidad deseada.
Sin embargo, en algún lugar alrededor de $ 4 cdot 10 ^ 6 $ kg de masa de combustible (para nuestros valores de parámetros seleccionados) descubrimos que agregar más combustible comienza a disminución la carga útil que se puede izar! Lo que está sucediendo aquí es que el costo del combustible adicional que tiene que luchar contra la gravedad comienza a ganar contra el beneficio de tener una alta relación de masa de combustible a carga útil.
Esto muestra que existe un límite superior teórico para la carga útil que se puede izar en la Tierra utilizando la tecnología de propulsores que tenemos disponible. No es posible simplemente seguir aumentando la carga útil y las masas de combustible en la misma proporción para levantar cargas arbitrariamente grandes, como se sugiere al usar la ecuación de Tsiolkovsky sin términos adicionales para la gravedad.
Considere el problema de una relación, cuál es la relación entre la masa utilizada para levantar el cohete (combustible) y la masa finalmente puesta en órbita (cabina). Esa proporción será muy similar con respecto a los objetos más pequeños que deben ponerse en órbita. Si usa la misma relación o proporción para calcular la masa de combustible necesaria para una embarcación pequeña, encontrará que ni siquiera puede llevar el dispositivo que contiene su combustible. Esta es también la razón por la que los cohetes usan etapas.
El tipo de combustible utilizado también tiene un impacto, pero esos son detalles que necesitan una nueva pregunta.
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