Solución:
Estás en lo correcto. Pero también lo es tu maestro.
Si se agregan dos campos magnéticos en un punto, la dirección del campo magnético en ese punto viene dada por la resultante, que es la misma que la dirección de la aguja de la brújula.
Los campos magnéticos son vectores y siempre hay una sola resultante sin importar cuántos vectores se sumen.
Las líneas de campo magnético en realidad no existen. Para “verlos” tenemos que usar cosas como las agujas de una brújula. Si ponemos pequeñas agujas de brújula de punta a punta, trazarán una sola línea. Desde un punto de partida diferente, podríamos trazar otra línea. ¿Se cruzarán alguna vez estas 2 líneas? No. Si lo hicieran, la brújula donde se cruzan apuntaría en 2 direcciones diferentes al mismo tiempo. Claramente imposible como dice tu maestro.
Casi puede decirse lo mismo de las líneas de campo eléctrico. [See Why can two (or more) electric field lines never cross?]. El no se cruzan excepto donde comienzan o terminan con una carga puntual.
Esto no sucede con las líneas de campo magnético porque no existe un equivalente magnético de una carga eléctrica. Los imanes siempre tienen un polo norte y sur, son dipolos. Incluso cuando los corta en trozos pequeños, cada trozo siempre tiene un polo norte y un polo sur. Nadie ha encontrado nunca un polo norte o sur aislado: un monopolo.
Es cierto que el campo magnético es un vector, y si tiene dos imanes, el campo resultante es la suma vectorial de los campos de cada imán. Pero eso no es de lo que está hablando su maestro cuando dice que las líneas de campo nunca se cruzan.
Las limaduras de hierro se alinean con el campo magnético como pequeñas agujas de brújula. Muestran la dirección de un campo de un solo imán en muchos puntos. Como puede ver, las limaduras tienden a agruparse, dejando espacios entre ellas. Entonces no muestran el campo en todos los puntos. En cambio, muestran que si te mueves en la dirección del campo, trazas una línea.
El campo magnético realmente existe en todas partes y es un campo que varía suavemente. El efecto sobre las limaduras de hierro se descubrió antes de que se resolvieran las matemáticas de los campos vectoriales. Es una imagen muy convincente y generó la idea de líneas de fuerza. Las líneas de fuerzas son una forma válida de describir gráficamente un campo magnético. Todavía se utilizan hasta el día de hoy para mostrar la idea. Las líneas de fuerza se pueden hacer matemáticamente precisas y se utilizan en las leyes que describen el magnetismo.
En la primera imagen, parece que las líneas van de un polo al otro. Una imagen mejor mostraría que esto no es cierto. Forman bucles sin fin. Los bucles nunca se cruzan.
¿Qué significaría si las líneas se cruzaran? Estas líneas muestran el campo magnético total en cada punto. El campo en cada punto es la resultante de los campos de todos los átomos de hierro que forman el imán.
Significaría que el campo total tiene dos direcciones diferentes en ese punto. Eso no es posible.
La imagen 1 es de https://www.forbes.com/sites/startswithabang/2016/07/08/why-doesnt-our-universe-have-magnetic-monopoles/#5443da44380b, pero Ethan Siegel. También encontré lo que parece ser la misma imagen en https://en.wikipedia.org/wiki/Magnetic_field, que la atribuye a Newton Henry Black, Harvey N. Davis (1913) Practical Physics, The MacMillan Co., EE. UU., pag. 242, fig. 200
La imagen 2 es de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/elemag.html.