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Solución:
Finalmente encontré una fuente (ver aquí) que da la definición: $$sum_j in J I_j := left sum_jin J x_j: x_j in I_j (forall j) texty solo un número finito de x_jtext son distintos de cero right .$$
Relacionado con el comentario de Arnaud D., aparentemente tenemos la relación que: $$sum_jin J I_j = leftlangle bigcup_jin J I_j rightrangle $$ donde $ángulo rángulo$ denota el ideal generado por un conjunto, la intersección de todos los ideales que contienen el conjunto.
Así, el conjunto de todos los ideales propios $I subseteq R$ de un anillo resulta no solo ser un orden parcial bajo una inclusión establecida, sino en realidad una red, lo que significa que todos los supremos (límites superiores mínimos) y los mínimos (límites inferiores máximos) existen/están definidos.
El mínimo de un conjunto de ideales es la intersección arbitraria de los ideales, mientras que el supremo de los ideales es la suma de ideales, ya que es el ideal más pequeño que contiene todos de los ideales Por lo tanto, la suma y la intersección de ideales son operaciones algo relacionadas.
Afirmar:$$sum_jin J I_j = leftlangle bigcup_jin J I_j rightrangle $$Prueba: Dejar $ x in sum_jin J I_j$. Entonces $x=x_1 + puntos + x_n$con $x_1 en I_j_1, puntos, x_n en I_j_n$, $j_1, puntos, j_n en J$. Entonces desde $x_1, puntos, x_n en bigcup_i=1^n I_j_i$tenemos eso $x_1 + puntos + x_n en L$ para cualquier ideal $L$ tal que $L supseteq bigcup_i=1^n I_j_i$. Pero claro porque $bigcup_i=1^n I_j_i subseteq bigcup_j in J I_j$asi que: $$bigcup_i=1^n I_j_i subseteq bigcup_j in J I_j subseteq bigcap_J supseteq bigcup_j in J I_j J = leftlangle bigcup_j in J I_jrightrangle, \ L=leftlangle bigcup_j in J I_jrightrangle supseteq bigcup_i=1^n I_j_i $$ asi que $x_1 + dots + x_n in leftlangle bigcup_j in J I_jrightrangle$.
$x_1 + puntos + x_n in sum_jin J I_j$ fue arbitrario, hemos demostrado que $sum_jin J I_j subseteq leftlangle bigcup_j in J I_jrightrangle$.
Ya que $sum_j in J I_j$ es un ideal y $sum_j in J I_j supseteq bigcup_jin J I_j$, $$sum_j in J I_j supseteq bigcap_J: J supseteq bigcup_jin J I_j J = left(bigcap_J: J supseteq bigcup_j in J I _j setminus \sum_j in J I_j Jright) cap left( sum_j in J I_j right). $$ Sin embargo, $bigcap_J: J supseteq bigcup_jin J I_j J$ es literalmente la definición de $leftlangle bigcup_jin J I_j rightrangle$es decir $bigcap_J: J supseteq bigcup_jin J I_j J = leftlangle bigcup_j in J I_j rightrangle$ trivialmente, hemos demostrado que $$sum_j in J I_j supseteq leftlangle bigcup_j in J I_j rightrangle$$ En otras palabras, $leftlangle bigcup_j in J I_j rightrangle$ es el ideal más pequeño que contiene $bigcup_j in J I_j$, $sum_jin JI_j$ es un ideal que contiene la unión, por lo que debe contener el ideal más pequeño que contiene la unión. $cuadrado$
Sea $(I_j)_jin J$ una familia de ideales de un anillo conmutativo $R$. Su suma es el conjunto de todas las sumas finitas $sum_k=1^n a_k$ tales que $a_kin bigcup_jin jI_j$ para todo $1leq kleq n$. Esta definición es equivalente a la segunda que das, y puedes comprobar que efectivamente es un ideal y que es el ideal más pequeño que contiene todos los $I_j$.
Para tu segunda pregunta, la intersección $bigcap_jin J I_j$ es un ideal. De hecho, no es vacío como $0in I_j$ para todo $j$; y si $a,bin bigcap_jin J I_j$ y $rin R$, entonces $a,bin I_j$ para todo $j$, de modo que $a+bin I_j $ y $rain I_j$ para todo $j$, y por lo tanto $a+bin bigcap_jin J I_j$ y $rain bigcap_jin J I_j$.
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