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Solución:
En realidad, sin la condición de reflexividad, la relación vacía contaría como una relación de equivalencia, que no es ideal.
Su argumento utilizó la hipótesis de que para cada $a$, existe $b$ tal que se cumple $aRb$. Si esto es true, entonces simetría y transitividad implican reflexividad, pero esto no es true en general.
No.
La condición que falta a veces se llama ‘serialidad’: para cualquier x debe haber una y tal que x R y.
Si agrega serialidad a la simetría y la transitividad, obtiene nuevamente una relación reflexiva.
Considere el conjunto $S =a,b,c$, con $a, b$, y $c$ distintos, y la relación $$R = (a,b),(b,a),(a,a),(b,b) subconjunto S times S$$
Es simétrica y transitiva pero no reflexiva.
Añadido el 28/10/2018
El argumento $aRb implica bRa implica aRa$ es convincente excepto por una cosa. ¿Qué pasa si no hay $b$ tal que $aRb$?
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