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Solución:
Los números complejos son similares a los vectores, pero tienen algunas propiedades matemáticas adicionales que los hacen útiles. Más notablemente, usando el complejo exponencial $ e ^ j omega t $ en lugar de senos y cosenos hace que las ecuaciones diferenciales sean mucho más fáciles de manejar. Así es como se llega a la impedancia compleja en primer lugar:
$$ v (t) = A mathrm e ^ mathrm j omega t + theta $$$$ i (t) = B mathrm e ^ mathrm j omega t + phi $$$$ frac v (t) i (t) = Z = frac AB mathrm e ^ mathrm j ( theta – phi) $$
O, en notación fasorial:
$$ hat V = A ángulo theta $$$$ hat I = B ángulo phi $$$$ frac hat V hat I = Z = frac AB angle ( theta – phi) $$
Podría usar algo como la notación vectorial para la magnitud y la fase, pero los vectores no se multiplican y dividen como lo hacen los números complejos, por lo que no mejoraría nada.
EDITAR: Números complejos desarrollados para resolver ciertos problemas de álgebra. Si desea saber más sobre la historia, consulte el primer capítulo de Análisis complejo visual de Tristan Needham. (Puede leer la vista previa en Amazon si no tiene una buena biblioteca a mano).
El segundo capítulo del libro probablemente pueda responder a tu pregunta por sí solo, pero también lo intentaré. Los números complejos son, en cierto sentido, cantidades bidimensionales, pero lo que los hace útiles aquí es que también incluyen el concepto de rotación. Multiplicación por $ sqrt -1 $ es equivalente a una rotación de 90 ° en un plano 2D:
$$ mathrm i ^ 0 = 1 $$$$ mathrm i ^ 1 = mathrm i $$$$ mathrm i ^ 2 = -1 $$$$ mathrm i ^ 3 = – mathrm i $$$$ mathrm i ^ 4 = 1 $$
Podemos ampliar esto con exponenciales complejas, representando una rotación en cualquier cantidad:
$$ mathrm e ^ j pi / 4 cdot mathrm e ^ j pi / 4 = mathrm e ^ j ( pi / 4 + pi / 4) = mathrm e ^ j pi / 2 = mathrm i $$$$ 45 ^ circ + 45 ^ circ = 90 ^ circ $$
Observe que obtenemos esto haciendo aritmética normal: multiplicar exponenciales de valor real funciona de la misma manera.
¿Por que importa? Ya podemos representar rotaciones con senos y cosenos, ¿verdad? Pero eso se vuelve desagradable en las ecuaciones diferenciales, principalmente porque no se pueden combinar senos y cosenos al sumarlos. Por otro lado, la derivada de $ mathrm e ^ x $ es … sí mismo. ¡No hay problema!
Entonces, ¿dónde entra la impedancia? Bueno, piense en la diferencia entre CC y el estado estable sinusoidal. En CC, los voltajes de los nodos son valores constantes con diferentes magnitudes. En CA, los voltajes de nodo son sinusoidales con la misma frecuencia pero diferentes magnitudes y ángulos de fase. Las relaciones voltaje / corriente también cambian. Con una resistencia, el voltaje y la corriente están en fase. En un inductor o condensador, hay una diferencia de fase de 90 ° entre ellos.
Así que ahora el concepto de rotación (fase “ángulo”) se ha infiltrado en nuestro análisis de circuitos. Podríamos quedarnos en el dominio del tiempo y hacer cosas como esta:
$$ v = L frac mathrm di mathrm dt $$$$ V cos ( omega t) = omega L cdot I cos ( omega t – 90 ^ circ) $$
O usamos podría números complejos, donde un $ 90 ^ circ $ rotación solo significa multiplicar por i (bueno, $ j $ en nuestro caso, esto es EE):
$$ V mathrm e ^ mathrm j omega t = mathrm j omega L cdot I mathrm e ^ mathrm j omega t $$
los key El beneficio aquí es que todos los $ mathrm e ^ mathrm j omega t $ los términos se cancelan fuera de las ecuaciones, por lo que ahora nuestra relación voltaje / corriente es solo la Ley de Ohm con números complejos:
$$ hat V = mathrm j omega L hat I $$
Si tuviera que resumir todo esto en una oración, diría que los números complejos le permiten representar la rotación agrupando la magnitud y la fase por separado de la frecuencia, mientras que las sinusoides agrupan la frecuencia y la fase juntas.
¿Por qué se utilizan números complejos y no vectores?
simplemente porque no hay una división vectorial definida en el álgebra vectorial, por lo que simplemente no puede usar la ley de Ohm en forma de división, lo que complica los cálculos. Por otro lado, el dominio de la atemática de números complejos ha progresado más a lo largo del tiempo que la contraparte vectorial, por lo que tiene muchos teoremas a su disposición para simplemente su expresión y (fácilmente) realizar análisis. Entonces, aunque podría trabajar con el álgebra vectorial, es más fácil trabajar con números complejos.
leer más: https://math.stackexchange.com/questions/246594/what-is-vector-division
¿Por qué la impedancia se representa como un número complejo?
considere el siguiente circuito:
si Q es la carga en el capacitor e i es la corriente, entonces usando KVL tendremos
$$ R times i + frac QC + L times frac di dt = V dots (1) $$$$ implica frac d ^ 2i dt ^ 2 + frac RL times frac dQ dt + frac 1 LC times i = 0 dots (2) $$$$ implica i = Ae ^ a_1t + Be ^ a ^ 2t $$
dónde $$ a_1, a_2 en C $$
y las soluciones generales de ecuación diferencial de segundo orden son siempre de naturaleza compleja.
por lo tanto, tu i es una expresión compleja y poner este valor en la ecuación 1 dará V que también será una expresión compleja. Sobre dividir V por i, obtendrá otra expresión compleja que llamamos impedancia de este circuito. Como puede ver, la razón por la que una impedancia es compleja se debe a las matemáticas involucradas.
Ahora, si quiere tener una “sensación” de impedancia compleja, debe aprender sobre fasores y tener una analogía con eso.
Leer más: https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-007-electromagnetic-energy-from-motors-to-lasers-spring-2011/lecture-notes/MIT6_007S11_lec19 .pdf
Solo para comentar que puede representar la impedancia como un matriz:
$$ R + mathrm j X leftrightarrow begin bmatrix R & X \ -X & R end bmatrix $$
De hecho, esta es la representación matricial de números complejos. Por otro lado, puede representar señales sinusoidales (pero no impedancia) usando vectores:
$$ x _ cos + mathrm j x _ sin leftrightarrow begin bmatrix x _ cos \ x _ sin end bmatrix $$
La suma / resta / escalado de impedancia y sinusoides son obviamente solo las operaciones homónimas en matrices y vectores. La admitancia es la matriz inversa de la impedancia:
$$ (R + mathrm j X) ^ – 1 leftrightarrow begin bmatrix R & X \ -X & R end bmatrix ^ – 1 = frac 1 (R ^ 2 + X ^ 2) begin bmatrix R & -X \ X & R end bmatrix $$
Puede multiplicar por matriz la impedancia con la corriente o la admitancia con el voltaje:
begin align begin bmatrix R & X \ -X & R end bmatrix begin bmatrix i _ cos \ i _ sin end bmatrix & = begin bmatrix R i _ cos + X i _ sin \ R i _ sin – X i _ cos end bmatrix \ begin bmatrix G & B \ -B & G end bmatrix begin bmatrix u _ cos \ u _ sin end bmatrix & = begin bmatrix G u _ cos + B u _ sin G u _ sin – B u _ cos end bmatrix end align
La diferencia de fase también es una matriz:
$$ mathrm e ^ mathrm j varphi = cos varphi + mathrm j sin varphi leftrightarrow begin bmatrix cos varphi & sin varphi \ – sin varphi & cos varphi end bmatrix $$
La derivada es simplemente $ omega $ veces un adelanto de fase de 90 grados:
$$ mathrm j omega leftrightarrow begin bmatrix 0 & omega \ – omega & 0 end bmatrix $$
Con lo que tenemos hasta ahora podemos escribir ecuaciones diferenciales como ecuaciones matriciales
begin align U_0 cos omega t = u + RC frac mathrm du mathrm dt leftrightarrow begin bmatrix U_0 \ 0 end bmatrix = ( begin bmatrix 1 & 0 \ 0 & 1 end bmatrix + RC begin bmatrix 0 & omega \ – omega & 0 end bmatrix) mathbf u = begin bmatrix 1 & RC omega \ -RC omega & 1 end bmatrix mathbf u end align
… y resolverlo calculando la matriz inversa de $ begin bmatrix 1 & RC omega \ -RC omega & 1 end bmatrix $ y luego multiplíquelo en el $ U_0 $ vector.
Sin embargo, como puede ver, este sistema de notación es bastante detallado y no proporciona una representación intuitiva de fase y amplitud (todo está esencialmente en coordenadas cartesianas).
Por cierto, el poder tiene una representación ordenada como el producto escalar vectorial:
$$ frac 1 2 (u _ cos i _ cos + u _ sin i _ sin) = frac 1 2 mathbf i ^ mathrm T mathbf u = frac 1 2 begin bmatrix i _ cos & i _ sin end bmatrix begin bmatrix u _ cos \ u _ sin end bmatrix $$
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