Solución:
El Hamiltoniano de Dirac para partículas libres no conmuta con el $ z $ componente del operador de giro $ hat S_z $, pero conmuta con el operador helicidad $ hat h = S⋅p $. Esto significa que uno puede conocer simultáneamente la energía y la helicidad de una partícula.
El hamiltoniano no se desplaza con $ hat S_z $, entonces lo mismo no es cierto.
Para obtener más información sobre los buenos números cuánticos y por qué se denominan “buenos”, haga clic aquí. Notarás que:
Los sistemas que pueden etiquetarse con buenos números cuánticos son en realidad estados propios del hamiltoniano. También se les llama estados estacionarios. Se denominan así porque el sistema permanece en el mismo estado a medida que transcurre el tiempo, de todas las formas observables.
Nota al margen: se puede considerar que la helicidad es el número cuántico más fundamental para las partículas sin masa, ya que distingue entre las dos representaciones desiguales del grupo de Poincaré.
Generalmente no hay razón para conservar el espín (es decir, un buen número cuántico) si no es la única forma de momento angular en un sistema. Total momento angular ($ mathbf {J} $), que consta de orbital ($ mathbf {L} = mathbf {r} times mathbf {p} $) más giro ($ mathbf {S} $), se conserva (correspondiente a la invariancia de rotación).
Sucede que la ecuación de Schrödinger (el límite no relativista) para una partícula con espín conserva el momento angular orbital y de espín por separado, porque el espín aparece como un número cuántico separado desacoplado con el movimiento. Sin embargo, la ecuación de Dirac acopla el giro con el movimiento a través de la $ gamma $ matrices.
La helicidad se conserva manifiestamente cuando se escribe como $ mathbf {p} cdot mathbf {J} $, que es equivalente a $ mathbf {p} cdot mathbf {S} $ porque $ mathbf {L} $ es siempre ortogonal a $ mathbf {p} $. (¿Por qué usar helicidad y no $ J_z $? Tiempo $ J_z $ se conserva, no se desplaza con $ mathbf {p} $. Nos gustaría utilizar estados propios de $ mathbf {p} $, es decir, ondas planas.)