Nuestros mejores investigadores han agotado sus provisiones de café, en su búsqueda diariamente por la solución, hasta que Óliver halló la respuesta en Gogs así que ahora la compartimos aquí.
Solución:
Muchos lugares afirman que la gravedad de la Tierra es más fuerte en los polos que en el ecuador por dos razones:
- La fuerza centrífuga anula mínimamente la gravedad, más en el ecuador que en los polos.
- Los polos están más cerca del centro debido al abultamiento ecuatorial y, por lo tanto, tienen un campo gravitacional más fuerte.
TL; Versión DR: Hay tres razones. En orden de magnitud,
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Los polos están más cerca del centro de la Tierra debido al abultamiento ecuatorial. Esto refuerza la gravitación en los polos y la debilita en el ecuador.
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El abultamiento ecuatorial modifica la forma en que la Tierra gravita. Esto debilita la gravitación en los polos y la fortalece en el ecuador.
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La Tierra está girando, por lo que un observador terrestre ve una fuerza centrífuga. Esto no tiene ningún efecto en los polos y debilita la gravitación en el ecuador.
Veamos cómo las dos explicaciones de la pregunta se comparan con la observación. La siguiente tabla compara lo que predice un modelo de gravedad esférico menos aceleración centrífuga para la aceleración gravitacional al nivel del mar en el ecuador ($ g _ text eq $) y el polo norte ($ g _ text p $) versus los valores calculados usando la fórmula de gravedad de Somigliana bien establecida $ g = g _ text eq (1+ kappa sin ^ 2 lambda) / sqrt {1-e ^ 2 sin ^ 2 lambda PS
$ begin matrix text Cantidad & GM / r ^ 2 & r omega ^ 2 & text Total & text Somigliana & text Error \ g_ text eq & 9.79828 & -0.03392 & 9.76436 & 9.78033 & -0.01596 \ g_ text p & 9.86431 & 0 & 9.86431 & 9.83219 & phantom – 0.03213 \ g_ text p – g_ text eq & 0.06604 & phantom – 0.03392 & 0.09995 & 0.05186 & phantom – 0.04809 end matrix $
Este modelo simple funciona en un sentido cualitativo. Muestra que la gravitación en el polo norte es mayor que en el ecuador. Cuantitativamente, este modelo simple no es muy bueno. Exagera considerablemente la diferencia entre la gravitación en el polo norte y el ecuador, casi en un factor de dos.
El problema es que este modelo simple no tiene en cuenta la influencia gravitacional del abultamiento ecuatorial. Una forma sencilla de pensar en ese abultamiento es que agrega masa positiva en el ecuador pero agrega masa negativa en los polos, para un cambio neto de masa cero. La masa negativa en el polo reducirá la gravitación en las proximidades del polo, mientras que la masa positiva en el ecuador aumentará la gravitación ecuatorial. Eso es exactamente lo que recetó el médico.
Matemáticamente, lo que hace ese movimiento de masas es crear un momento cuadrupolo en el campo de gravedad de la Tierra. Sin entrar en los detalles de los armónicos esféricos, esto agrega un término igual a $ 3 J_2 frac GMa ^ 2 r ^ 4 left ( frac 3 2 cos ^ 2 lambda – 1 right) $ al fuerza gravitacional, donde $ lambda $ es la latitud geocéntrica y $ J_2 $ es la segunda forma dinámica de la Tierra. Al agregar este término de cuadrupolo a la tabla anterior, se obtiene lo siguiente:
$ begin matriz text Cantidad & GM / r ^ 2 & r omega ^ 2 & J_2 , text term & text Total & text Somigliana & text Error \ g_ text eq & 9.79828 & -0.03392 & phantom – 0.01591 & 9.78027 & 9.78033 & -0.00005 \ g_ text p & 9.86431 & 0 & -0.03225 & 9.83206 & 9.83219 & -0.00013 g_ text p – g_ text eq & 0.06604 & phantom – 0.03392 & -0.04817 & 0.05179 & 0.05186 & -0.00007 end matrix $
Esta simple adición del cuadrupolo ahora hace una muy buena combinación.
Los números que usé en lo anterior:
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$ mu_E = 398600.0982 , text km ^ 3 / text s ^ 2 $, el parámetro gravitacional de la Tierra menos la contribución atmosférica.
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$ R_ text eq = 6378.13672 , text km $, el radio ecuatorial de la Tierra (valor medio de la marea).
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$ 1 / f = 298.25231 $, el aplanamiento de la Tierra (valor medio de la marea).
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$ omega = 7.292115855 times 10 ^ – 5 , text rad / text s $, la tasa de rotación de la Tierra.
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$ J_2 = 0.0010826359 $, el segundo factor de forma dinámica de la Tierra.
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$ g _ text eq = 9.7803267714 , text m / text s ^ 2 $, gravitación al nivel del mar en el ecuador.
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$ kappa = 0.00193185138639 $, que refleja la diferencia observada entre la gravitación en el ecuador y los polos.
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$ e ^ 2 = 0.00669437999013 $, el cuadrado de la excentricidad de la figura de la Tierra.
Estos valores son en su mayoría de Groten, “Parámetros fundamentales y mejores estimaciones actuales (2004) de los parámetros de relevancia común para la astronomía, geodesia y geodinámica”. Diario de geodesia, 77: 10-11 724-797 (2004), con el parámetro gravitacional estándar modificado para excluir la masa de la atmósfera. La atmósfera de la Tierra tiene un efecto gravitacional en la Luna y en los satélites, pero no tanto en las personas que se encuentran en la superficie de la Tierra.
El punto es que si nos aproximamos a la Tierra con un elipsoide achatado, entonces la superficie de la Tierra es una superficie equipotencial, $ ^ 1 $ ver, por ejemplo, este artículo de Phys.SE.
Ahora, debido a que el radio polar es más pequeño que el radio ecuatorial, la densidad de superficies equipotenciales en los polos debe ser mayor que en el ecuador.
O de manera equivalente, la intensidad de campo $ ^ 2 $ $ g $ en los polos debe ser mayor que en el ecuador.
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$ ^ 1 $ Tenga en cuenta que el potencial aquí se refiere al efecto combinado de las fuerzas gravitacional y centrífuga. Si vertimos un poco de agua sobre una superficie equipotencial, no habría una dirección de flujo preferida.
$ ^ 2 $ De manera similar, la intensidad de campo, conocida como poco $ g $, se refiere al efecto combinado de las fuerzas gravitacionales y centrífugas, incluso si $ g $ a menudo (casualmente y algo engañoso) se conoce como el gravitacional constante en la superficie de la Tierra.
Aquí hay un argumento simple que no requiere ningún conocimiento de cosas sofisticadas como equipotenciales o marcos de referencia rotativos. Imagina que gradualmente pudiéramos hacer girar la tierra cada vez más rápido. Eventualmente se desintegraría. En el momento en que comenzara a separarse, lo que estaría sucediendo sería que las porciones de la tierra en el ecuador tuvieran velocidad orbital. Cuando estás en órbita, experimentas una aparente ingravidez, al igual que los astronautas de la estación espacial.
Entonces, en un punto del ecuador, la aceleración aparente de la gravedad $ g $ (es decir, lo que se mide en un laboratorio fijado a la superficie de la tierra) desciende a cero cuando la tierra gira lo suficientemente rápido. Por interpolación, esperamos que el efecto del giro real sea disminuir $ g $ en el ecuador, en relación con el valor que tendría si la Tierra no girara.
Tenga en cuenta que este argumento tiene en cuenta automáticamente la distorsión de la tierra lejos de la esfericidad. La forma achatada es solo una parte de la interpolación entre la esfericidad y la ruptura.
Es diferente en los polos. No importa qué tan rápido gire la tierra, una porción de la tierra en el polo norte nunca estará en órbita. El valor de $ g $ cambiará debido al cambio en la forma de la tierra, pero ese efecto debe ser relativamente débil, porque nunca puede conducir a una ruptura.
Si conservas algún rompecabezas o forma de renovar nuestro división te inspiramos añadir una explicación y con deseo lo analizaremos.