Solución:
La transformada de Fourier $ phi (k) $ es una función solo de $ k $ y no del tiempo porque indica la amplitud de cada onda plana que compone la función de onda.
Las amplitudes se conservan en el tiempo, porque las ondas planas lineales se superponen entre ellas y no interactúan.
La evolución en el tiempo no está en las amplitudes $ phi (k) $, pero se puede observar cómo evoluciona cada onda plana y se suman nuevamente las evolucionadas con las amplitudes anteriores $ phi (k) $
La evolución del tiempo en la mecánica cuántica se suele realizar con el llamado operador de evolución temporal, $$ U (t_f, t_i) = text {e} ^ {- text {i} H (t_f-t_i) / hbar}, $$ tal que, cuando se aplica en una función de onda en el tiempo inicial $ t = t_i $, $$ U (t_f, t_i) , psi (x, t_i) = psi (x, t_f), $$ sigue la función de onda en el tiempo final $ t = t_f $. Para una partícula libre, el hamiltoniano dice, $$ H = frac {p ^ 2} {2m}, $$ así que obtenemos la función de onda para $ t = t_f $ si dejamos que $ H $ actúe sobre $ psi ( x) $. Antes de que podamos hacer eso, tenemos que expresar $ p $ como una derivada que actúa sobre $ x $, $$ p = hbar k to – text {i} hbar partial_x quad Rightarrow quad H = – frac { hbar ^ 2} {2m} partial_x ^ 2 $$ (tenga en cuenta $ partial_x equiv tfrac { partial} { partial x} $) de modo que escribamos, $$ psi (x, t_f ) = text {e} ^ { text {i} frac { hbar} {2m} partial_x ^ 2 (t_f-t_i)} , psi (x, t_i). $$ Según tu pregunta, usaremos $ t_i = 0 $ y $ t_f = t $: $$ psi (x, t) = text {e} ^ { text {i} frac { hbar} {2m} partial_x ^ 2t} , psi (x, 0). $$ No estoy exactamente seguro de por qué, pero para que coincida con su imagen, ahora hacemos una transformada de Fourier en la función de onda inicial, $$ psi (x, 0) = frac {1} { sqrt {2 pi}} int limits _ {- infty} ^ infty text {d} k , text {e} ^ {ikx} , phi (k). $$ Con esto, llegamos a la ecuación $$ begin {align *} psi (x, t) & = text {e} ^ { text {i} frac { hbar} {2m} partial_x ^ 2 t} frac {1} { sqrt {2 pi}} int limits _ {- infty} ^ infty text {d} k , text {e} ^ {ikx} , phi (k) \ & = frac {1} { sqrt {2 pi}} int limits _ {- infty} ^ infty text {d} k , text {e} ^ { texto {i} frac { hbar} {2m} partial_x ^ 2 t} text {e} ^ {ikx} , phi (k) \ & = frac {1} { sqrt {2 pi}} int limits _ {- infty} ^ infty text {d} k , text {e} ^ { text {i} frac { hbar} {2m} ( text ik) ^ 2 t} text {e} ^ {ikx} , phi (k) \ & = frac {1} { sqrt {2 pi}} int limits _ {- infty} ^ infty texto {d} k , text {e} ^ {- text {i} frac { hbar k ^ 2} {2m} t} text {e} ^ {ikx} , phi (k) \ & = frac {1} { sqrt {2 pi}} int limits _ {- infty} ^ infty text {d} k , text {e} ^ {i left (kx – frac { hbar k ^ 2} {2m} t right)} , phi (k). end {align *} $$ La tercera igualdad sigue por una expansión de Taylor implícita y permite que cada potencia de $ partial_x $ actúe sobre $ text e ^ { text ikx} $, vea, por ejemplo, aquí o aquí para más detalles.
Entonces, para responder a su pregunta: $ phi (k) $ es solo una función de $ k $, porque hicimos la transformada de Fourier solo en $ psi (x) $. Si hiciéramos una transformada de Fourier en $ psi (x, t) $, obtendríamos un $ phi (k, omega) $.