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Solución:
Uhm… ¿empiezas con un objeto en reposo y notas que si lo empujas en diferentes direcciones se mueve en diferentes direcciones? Luego, observe que puede organizar más de dos (tres para geometrías planas y cuatro para geometrías 3D completas) fuerzas no colineales para cancelarse entre sí (esperemos que haya hecho un ejercicio de tabla de fuerzas en su clase y lo haya hecho usted mismo).
La demostración sobre un objeto que ya está en movimiento es un poco menos obvia, pero puede tomar las ideas aquí y generalizarlas.
En cierto sentido, esto es tan obvio que es difícil responder porque casi cualquier cosa lo que haces con las fuerzas hace uso de su naturaleza vectorial.
Los vectores son cosas que se suman como pequeñas flechas. Las flechas agregan la punta a la cola.
El número de rocas no es un vector. 2 rocas + 2 rocas = 4 rocas.
El desplazamiento es un vector. Si te mueves 2 pies a la izquierda y 2 pies a la izquierda otra vez, te has movido 4 pies. Dos flechas de 2 pies de largo apuntando hacia la izquierda sumadas de la punta a la cola equivalen a una flecha de 4 pies de largo apuntando hacia la izquierda.
Si te mueves 2 pies a la izquierda y 2 pies a la derecha, has regresado al inicio. Esto es lo mismo que no moverse en absoluto. No puedes agregar rocas de esta manera.
La fuerza agrega así. Dos pequeñas fuerzas hacia la izquierda equivalen a una gran fuerza hacia la izquierda. Las fuerzas iguales izquierda y derecha son equivalentes a ninguna fuerza. Por eso la fuerza es un vector.
Editar: los comentarios plantean un punto que pasé por alto. Este punto generalmente no se plantea cuando se introducen vectores.
Los matemáticos definen un vector como cosas que se comportan como pequeñas flechas cuando se suman y multiplican por escalares. Los físicos añaden otro requisito. Los vectores deben ser invariantes bajo las transformaciones del sistema de coordenadas.
Una pequeña flecha existe independientemente de cómo la mires. Una pequeña flecha no cambia cuando gira, por lo que ahora está mirando hacia adelante. De manera equivalente, las flechas pequeñas no cambian si gira la flecha para que mire hacia adelante.
Esto se debe a que el espacio es homogéneo e isótropo. No hay lugares o direcciones especiales en el espacio que te cambien a ti o a una flecha si se mueve a una nueva ubicación u orientación. (Si te alejas de la Tierra, la gravedad es diferente. Si esto es importante, también debes mover la Tierra).
Por el contrario, un escalar es un número único que no cambia bajo las transformaciones del sistema de coordenadas. Número de rocas es un escalar.
Las coordenadas que describen un vector cambian cuando se cambia el sistema de coordenadas. La componente izquierda de un vector no es un escalar.
Hay un espacio vectorial matemático 1-D paralelo a la coordenada izquierda de un vector. Si rota el sistema de coordenadas, puede ser paralelo a lo que se ha convertido en el componente de avance. Un físico no diría que es un espacio vectorial.
Un detalle menor: la fuerza es no un vector Al igual que el impulso, es un covector o de una sola formay covariante. Puedes ver esto de varias maneras:
- del principio del trabajo virtual: la fuerza es una función lineal que mapea desplazamientos infinitesimales $deltamathbfx$ (un vector) a cambios infinitesimales en energía $Fdeltamathbfx$ (un escalar) y por lo tanto un covector por definición.
- Segunda ley de Newton $F=ma$: la aceleración es un vector, que es “índice reducido” por la masa para dar fuerza.
- Las fuerzas conservativas surgen del diferencial de energía potencial, $F = -dV$, y el diferencial de una función es de una sola forma (covariante).
La diferencia entre un vector y un covector puede no tener sentido si recién está comenzando a aprender sobre física y, por ahora, saber que las fuerzas se pueden “agregar de punta a cola” como vectores puede ser suficiente para cálculos prácticos. Pero es algo a lo que debe comenzar a prestar atención a medida que madura su comprensión: como el análisis dimensional, realizar un seguimiento cuidadoso de cuáles son sus objetos físicos, matemáticamente, es útil tanto para desarrollar una comprensión más profunda como para detectar errores.