Te traemos la solución a esta obstáculo, o por lo menos eso esperamos. Si presentas dudas puedes escribirlo en el apartado de preguntas, que sin dudarlo te ayudaremos
Solución:
Los campos eléctrico y magnético deben permanecer continuos en el límite del índice de refracción. Si la frecuencia cambiara, la luz a cada lado del límite cambiaría continuamente su fase relativa y no habría forma de igualar los campos.
Piénselo de esta manera: en el límite/interfaz del medio, la cantidad de ondas que envía es la cantidad de ondas que recibe, en el otro lado, casi instantáneamente. La frecuencia no cambia porque depende del viaje de las ondas a través de la interfaz.
Pero la velocidad y la longitud de onda cambian ya que el material en el otro lado puede ser diferente, por lo que ahora podría tener un tamaño de onda más largo o más corto y, por lo tanto, el número de ondas por unidad de tiempo cambia.
Aquí está la respuesta del libro.
Considere un límite entre dos medios como el plano $y=0$. Dibuja un lazo rectangular de lado $delta x$ y $delta y$. Tener un campo E a cada lado del límite que es paralela al límite en la dirección $x$. El campo E es $E_1$ en el medio 1 y $E_2$ en el medio 2.
Ahora usa la forma integral de la ley de Faraday. $$ oint bf E cdot dbf l = – int fracpartial bf Bpartial t cdot dbf S$$ $$ E_1 delta x – E_2 delta x = -fracpartial bf Bpartial t delta x delta y.$$ Pero ahora puedes dejar que $delta y$ se reduzca a cero y encuentra que $E_2 = E_1$. es decir, la componente del campo E que es paralela a la interfaz debe ser la misma inmediatamente a ambos lados de la frontera.
Ahora tenga el límite definido por el plano $y=0$, el punto de incidencia sea $bf r=0$ y tenga una onda incidente acercándose a él de la forma $E = E_i exp[i(omega_i t – bf k_icdot bf r)] hatbf ktimes hatbf r$, donde $hatbf k$ es un vector unitario en la dirección del vector de onda $bf k_i$, y $ omega_i$ es la frecuencia angular.
La onda incidente impacta en $bf r=0$ y parte de la luz se transmite y parte se refleja. Los rayos incidente, reflejado y transmitido están todos en el mismo plano y debido a que, como se muestra arriba, los componentes paralelos deben ser los mismos a ambos lados del límite, podemos escribir. $$E_i exp(iomega_i t) cos theta_i + E_r exp(iomega_r t)cos theta_r = E_t exp(iomega_t t)costheta_t,$$ donde $theta_i $ etc son los ángulos de incidencia, reflexión, transmisión; y $omega_r$ y $omega_t$ son las frecuencias de las ondas reflejadas y transmitidas.
Pero esta relación tiene que ser true por todos valores de $t$. La única forma en que esto se puede arreglar es si $omega_i = omega_r = omega_t$. Entonces, la frecuencia de la luz no cambia cuando pasa al medio.
He tomado un atajo aquí para llegar al resultado requerido. Por lo general, al hacer esta prueba, define una geometría para que la onda golpee en varios puntos a lo largo de la interfaz y esto significa que los argumentos de los exponenciales se ven como $(omega_i t -k_i xsintheta_i)$, $( omega_r t -k_rxsintheta_r)$ y $(omega_t t -k_txsintheta_t)$, donde $x$ es una coordenada a lo largo del límite. Exigir que estos argumentos sean iguales para todo $x,t$ también te da la ley de reflexión ($theta_i = theta_r$) y la ley de refracción de Snell; $sin theta_t/sintheta_i = k_i/k_t$, y si $omega_t = omega_i$ y $omega/k = c/n$, entonces $sin theta_t/sintheta_i = n_i /n_t$.
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