Solución:
En lo que respecta a la mayoría de los libros de texto sobre mecánica cuántica (no relativista), no consideramos la solución para $ n = 0 $ porque nos da una solución trivial (y la interpretamos en el sentido de que no hay partícula dentro de la caja / bien).
Sin embargo, si hubiera un estado fundamental con energía cero para un potencial de pozo cuadrado, implicaría que (dado que la partícula tiene energía cero), estará en reposo dentro del pozo cuadrado, ¡y esto claramente violará el principio de incertidumbre de Heisenberg!
Al confinar una partícula a una región muy pequeña del espacio, adquiere un impulso pequeño pero finito. Entonces, si la partícula está restringida para moverse en una región de ancho $ Delta x sim a $ (es decir, toda la longitud del pozo), podemos calcular el incertidumbre mínima en impulso (usando el principio de incertidumbre) y resulta ser $ Delta p sim hbar / a $. Y esto a su vez nos da la energía cinética mínima del orden $ hbar ^ 2 / (2ma ^ 2) $. Esto (cualitativamente) concuerda con el valor exacto de la energía del estado fundamental.
Entonces, físicamente, la existencia de una energía de punto cero es una característica necesaria de un sistema mecánico cuántico. Indica que la partícula debe exhibir “un movimiento mínimo” debido a la localización. Clásicamente, la energía más baja posible del sistema corresponde al valor mínimo de la energía potencial (siendo la energía cinética cero). Pero en la mecánica cuántica, el estado de energía más bajo corresponde al valor mínimo de la suma de la energía potencial y cinética, y esto conduce a un estado fundamental finito o energía de punto cero.
El cero de la energía es completamente arbitrario, como el cero del tiempo o del espacio.
De hecho, suponga que la energía del estado fundamental de $ H $ es $ a $, entonces $ Ha I $, donde $ I $ es el operador de identidad, tiene la energía del estado fundamental cero y los mismos vectores propios de $ H $. Además, genera la misma evolución temporal (aparte de un factor de fase no físico). Por lo tanto, desde el punto de vista físico, es indistinguible del original.