este problema se puede abordar de diferentes maneras, pero te damos la solución más completa para nosotros.
Solución:
Sea algún cambio en $ x $ por $ h $. Si tuviéramos que dibujar una línea que corte a través del punto inicial y resultante, entonces tendríamos una línea que pasa por $ (x, f (x)) $ y $ (x + h, f (x + h)) $ como se muestra en el diagrama de arriba. (Esta línea es la línea secante, como algunos reconocerán).
La derivada en un punto es esencialmente el cambio resultante en $ f (x) $ como una razón de un cambio infinitesimalmente pequeño en $ x $. Esto significa que la derivada en un punto es $ frac f (x + h) – f (x) (x + h) -x $, para unos $ h $ infinitesimalmente pequeños. Pero este es exactamente el gradiente de la línea secante que se muestra arriba.
Si hiciéramos $ h $ muy pequeños para producir el “cambio infinitesimalmente pequeño en $ x $” (es decir, dejemos $ h a 0 $), entonces observe que la línea secante anterior eventualmente se convierte en la línea tangente en el punto $ ( x, f (x)) $. La derivada en ese punto eventualmente se vuelve igual a la pendiente de la recta tangente.
Imaginemos que tenemos una curva. Ahora tomamos dos puntos cualesquiera y tomamos una línea que une estos dos puntos. Esta línea se llama secante ya que corta la curva en al menos dos puntos (puede haber más, pero eso no es de nuestra incumbencia). Ahora, si imagina acercar estos puntos entre sí, verá que la secante se acerca a la línea tangente. Si sigues disminuyendo la distancia entre estos puntos y los haces cerrar arbitrariamente, la recta secante por lo tanto se convierte en la tangente. Esto debe demostrarse rigurosamente, pero es una buena manera de obtener un “sentir“de lo que está pasando, que creo que es lo que estás pidiendo.
Ahora la pendiente ($ m $) de esta recta secante debe ser igual a la pendiente de la tangente.
Entonces $$ m = frac Delta y Delta x = frac y_2-y_1 x_2-x_1 $$
Tomando $ x_2 = x_1 + h $ y tomando el límite $ h to0 $
$$ m = lim_ h to0 frac f (x_1 + h) -f (x_1) h $$
Este límite se llama “derivada” y es igual a la pendiente que queríamos.
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