Posteriormente a buscar en varios repositorios y foros al concluir hallamos la resolución que te compartimos pronto.
Solución:
la conexión es elegido de modo que la derivada covariante de la métrica es cero. La derivada métrica covariante que se desvanece no es una consecuencia de usar “cualquier” conexión, es una condición que nos permite elegir una conexión específica $Gamma^sigma_mu beta$. En principio, podría tener conexiones para las que $nabla_mug_alpha beta$ lo hizo no desaparecer. Pero nosotros específicamente desear una conexión para la cual esta condición es true porque queremos una operación de transporte paralelo que conserve ángulos y longitudes.
Se puede mostrar fácilmente por el siguiente razonamiento. $$ DA_i = g_ikDA^k, $$ porque $DA_i$ es un vector (según la definición de derivada covariante). Por otro lado, $$ DA_i = D(g_ikA^k) = g_ikDA^k + A^kDg_ik. $$ Entonces, $$ g_ikDA^k + A^kDg_ik = g_ikDA^k Rightarrow Dg_ik = 0. $$ Entonces, es No es una condición, es una consecuencia de la derivada de covarianza y la definición del tensor métrico.
La relación entre los símbolos de Christoffel y las derivaciones del tensor métrico se puede obtener mediante la permutación cíclica de índices en la derivada de covarianza $g_ik; l$ expresión, que es igual a cero.
Aquí hay otro cálculo sencillo, pero asumiendo la existencia de coordenadas localmente planas $xi^ileft(x^muright)$. Entonces beginalign D_rho g_mu nu &= partial_rho g_mu nu – g_mu sigma Gamma_nurho^sigma – g_sigmanu Gamma_murho^sigma \ &= parcial_rho left( fracparcial xi^iparcial x^mu fracparcial xi^iparcial x^nu right) – g_mu sigma fracparcial x^sigmaparcial xi^i frac parcial^2 xi^iparcial x^nu parcial x^rho – g_sigma nu fracparcial x^sigmaparcial xi^i fracparcial^2 xi^iparcial x^mu parcial x^rho \ &= fracparcial^2 xi^iparcial x^rho parcial x^mufracparcial xi^iparcial x^nu + fracparcial xi^iparcial x^mufracparcial^2 xi^iparcial x^rho parcial x^nu – fracparcial xi^jparcial x^muunderbracefracparcial xi^j parcial x^sigma fracparcial x^sigmaparcial xi^i_delta^j_i fracparcial^2 xi^iparcial x ^nu parcial x^rho – fracparcial xi^jparcial x^sigmafracparcial xi^jparcial x^nufrac parcial x^sigmaparcial xi^i fracparcial^2 xi^iparcial x^mu parcial x^rho \ &= 0 endalign