Solución:
Cuando se estaba estudiando originalmente la fuerza electrostática, la fuerza, la masa, la distancia y el tiempo se entendían bastante bien, pero la fuerza electrostática y la carga eléctrica eran nuevas y exóticas. En el sistema cgs, el cargo fue definido en relación con la fuerza electrostática resultante (se llama Franklin (Fr) una “unidad electrostática” (esu o) a veces un statCoulomb (statC)).
En ese sistema, expresamos la fuerza sobre una partícula cargada por otra como $ F_E = frac {q_1 q_2} {r ^ 2} $ donde la unidad de carga es el esu, la unidad de fuerza es la dina y la unidad de la distancia es el centímetro. En el sistema MKS (ahora llamado SI), escribiríamos $ F_E = k_e frac {q_1 q_2} {r ^ 2} $ donde la unidad de carga es el culombio, la unidad de fuerza es el newton y la unidad de distancia el metro. Parecería que si las cosas son equivalentes, entonces $ k_e $ es solo un factor de conversión, pero las cosas definitivamente son no equivalente.
Probablemente un poco de historia sea útil en este momento. En 1873, cuando se estandarizó por primera vez el sistema cgs, finalmente hizo una clara distinción entre masa y fuerza. Antes de eso, era común expresar ambos en términos de la misma unidad, como la libra. Entonces, si lo piensas, la gente todavía dice cosas como “Peso 72 kg” en lugar de “Peso 705 N aquí en la superficie de la Tierra” y también dicen $ 1 mathrm {kg} = 2.2 mathrm {lb} $ confundir masa y peso (el cgs La unidad imperial de masa es en realidad la babosa).
Esto es importante porque existe una analogía directa con el tema de las unidades de carga y con su pregunta sobre las unidades de $ k_e $. El Franklin se define como “la carga que ejerce sobre una carga igual a una distancia de un centímetro en vacío una fuerza de una dina”. Se supone que el valor de $ k_e $ es 1 y no tiene dimensiones en el sistema cgs.
En cgs, la unidad de carga, por lo tanto, ya implícitamente tiene este valor de $ k_e $ incorporado. Sin embargo, en las unidades SI, comenzaron con Amperes y derivaron Coulombs de eso y tiempo ($ C = It $). Las unidades resultantes de $ k_e $ son el resultado de esa elección.
Entonces, aunque el fenómeno físico es el mismo, es el elección de unidades eso da $ k_e $ dimensión o no.
Consulte este documento para obtener quizás un poco más de detalles sobre cómo funciona esto en la práctica.
Los sistemas de unidades son en cierto sentido flexibles y opcionales.
La relación
$$ text {Fuerza electrostática entre dos cargas puntuales} propto frac {( text {una carga}) times ( text {la otra carga})} {( text {distancia entre ellas}) ^ 2} etiqueta {1} $$
es un hecho experimental.
En el SI, tenemos unidades para Fuerza, distancia y carga tales que (1) no es dimensionalmente consistente con una constante adimensional de proporcionalidad. Entonces, $ k $ debe tener dimensiones de $ frac { mathrm {N} cdot mathrm {m} ^ 2} { mathrm {C} ^ 2} $ además de tener un valor numérico.
Pero podríamos hacerlo de otra manera. Considere el “Statcoulomb”. En unidades gaussianas, la unidad de carga se define de manera que la ley de Coulomb tenga una constante unitaria adimensional de proporcionalidad. $$ F = frac {q_1 , q_2} {r ^ 2} ,. $$ Esta es una forma perfectamente válida de hacer física. En esencia, hemos doblado $ sqrt {k} $ en el valor numérico de cada uno de los cargos:
$$ ( text {cargo}) (en ; text {Statcoulombs}) sim sqrt {k} , ( text {mismo cargo}) (in ; text {Coulombs}) ,, $ PS
o
$$ sqrt {k} , text {Statculombios} sim 1 , text {Culombios} ,. $$
Eso hace que Statcoulomb sea una unidad bastante divertida cuando se expresa en términos del SI, pero luego el Coulomb es una unidad bastante extraña expresada en términos guassianos. Cada sistema debe entenderse en su propio contexto.
Se han derramado muchas palabras argumentando que un conjunto de unidades es mejor que otro o viceversa.
En mi negocio (física de partículas) es común trabajar en unidades donde $ c = hbar = 1 , ( text {adimensional}) ;. $ Esto le da a la energía, la masa y el momento las mismas unidades (distancia inversa, en realidad) y pierde muchas de las comprobaciones que ayudan a los físicos jóvenes a realizar un seguimiento de la diferencia entre estas cantidades, pero mantiene el garabato bajo y simplifica la forma de muchas ecuaciones. (Por cierto, los cosmólogos a menudo agregan $ G = 1 , ( text {adimensional}) $ a la mezcla.
La moraleja de la historia es, ‘No lea demasiado significado en las unidades de “constantes”, porque dependen del sistema de unidades que elija.’
La fuerza es una cantidad vectorial definida matemáticamente como la tasa de cambio de la cantidad de movimiento, es decir
$ vec F = dfrac {d vec p} {dt} tag {1} $ donde $ vec p = m vec v $ en mecánica clásica.
La unidad de fuerza en Si es “newton”. Un “newton” es la cantidad de fuerza necesaria para acelerar un kilogramo de masa a una velocidad de un metro por segundo al cuadrado. Podrías hacer tu propio conjunto de unidades diciendo: defino un newton como la fuerza requerida para acelerar 2 kg de masa a través de 1 m / s ^ 2, entonces tendrás que modificar la ecuación 1 como $ vec F = dfrac {1} {2} m vec a $ En general, la segunda ley de Newton se puede establecer como $ vec F = k m vec a $ donde $ k $ depende de las unidades de medida. También podría decir $ vec F propto d vec p / dt $ y $ k $ aparecen como una constante de proporcionalidad. Cabe señalar aquí que ‘$ k $’ es una constante adimensional.
Sea nuestro sistema de unidades SI en aras de la simplicidad y la ecuación 1 sea válida. Midamos la fuerza con una balanza de resorte.
El resorte obedece a la ley de Hooke que establece que la magnitud de la fuerza aplicada es directamente proporcional al desplazamiento del resorte, es decir $ F = k X $ donde $ x $ es el desplazamiento y $ k $ es la constante de proporcionalidad. Esta vez $ k $ no es adimensional, ¿por qué es así? es así porque la fuerza no se mide en metros, se mide en newtons. Suponga que el resorte está fabricado de tal manera que un desplazamiento de un metro representa un newton de fuerza, entonces $ k $ tendrá una magnitud de $ 1 $. ¿Sería apropiado definir para definir un newton = un metro para hacer $ k $ adimensionales? ¡NO! hacer esto hará que todas las otras ecuaciones que involucren ‘$ F $’ sean dimensionalmente incorrectas, por ejemplo, $ F = kma $ aquí k tendrá que ser constante dimensional.
De manera similar, si define “un newton = $ 1 text {Newton} = frac {1} {1/1 text {meter} ^ 2 cdot 1 text {Coloumb} ^ 2} $, entonces $ F = ma $ deben cambiarse a $ F = dfrac {s ^ 2} { text {Kg m}} times {1 / text {meter} ^ 2 cdot text {coloumb} ^ 2} times text { mass} times text {aceleración} $
En la ley de Coloumb, la constante $ k_e $ tiene unidades y magnitud.
$ 1. $ Tiene unidades para que la ecuación sea dimensionalmente correcta.
$ 2. $ no es $ 1 $ en magnitud porque la magnitud de $ dfrac {q_1q_2} {r ^ 2} $ cuando $ q_1 $, $ q_2 $ y $ r $ son todos uno, la fuerza en newtons es $ 9 times 10 ^ 9 $ en magnitud, por lo que $ k $ es este valor para una calibración adecuada. $ k $ puede verse como una constante de proporcionalidad o un factor de escala o una constante dimensional o todo. La magnitud de $ k $ es 9 * 10 ^ 9 solo porque definimos un newton como 1Kg m / s ^ 2. Si dices 9 * 10 ^ 9 newtons = uno dgp luego, en el sistema dgp, $ k $ alcanzará una magnitud.