Posterior a de esta prolongada recopilación de información dimos con la respuesta esta contrariedad que pueden tener muchos usuarios. Te compartimos la solución y nuestro objetivo es que te sea de mucha apoyo.
Solución:
Este es un concepto difícil para la mayoría de las personas que aprenden sobre los tamaños de conjuntos infinitos por primera vez. La densidad numérica, como usted la llama, es un concepto intuitivo y tiene más sentido desde el principio. Pero tiene un par de problemas. Parece que desea definir el tamaño de un conjunto $ A $ por el límite, ya que $ n $ va al infinito del número de números en $ A $ menos de $ n $ dividido por $ n $. Esto, de nuevo, parece natural. Pero, ¿y si mi set no estuviera hecho de números? ¿Y si fuera un conjunto de polígonos? ¿O líneas? ¿Un conjunto de funciones? ¿Y si fuera un conjunto de conjuntos? Hay un problema aún mayor. Los dígitos que escribimos cuando enumeramos un conjunto son en realidad solo símbolos $ ^ ast $. El conjunto $ 1,2,3,4, … $ es solo una colección de símbolos. Si cambio el símbolo “1” a “2” y cambio “2” a “4”, “3” a “6”, y así sucesivamente, obtengo el conjunto $ {2,4,6, … PS Cambié la forma en que se ve cada símbolo. ¿Realmente he cambiado el tamaño del set? ¿Existe una forma universal de definir el tamaño de un conjunto? Hay. No hay confusión sobre el tamaño de los conjuntos finitos. También es fácil ver que si una función de un conjunto finito $ A $ a otro conjunto finito $ B $ es uno a uno, y golpea todo en $ B $, entonces $ A $ y $ B $ tienen lo mismo. Talla. Simplemente ampliamos la idea a conjuntos infinitos. Esto evita el problema de tener que tener un sistema numérico predefinido en los conjuntos. Evita el problema de volver a etiquetar los elementos de los conjuntos. Y lo más importante, reconoce que el tamaño de un conjunto es lo que definamos. Entonces elegimos una definición que sea útil. Ésta es una definición útil. En otras palabras, su pregunta “qué constituye una prueba” está mal planteada. No probamos que dos conjuntos tengan el mismo tamaño si hay una función biyectiva entre ellos, lo definimos de esa manera.
En cuanto al conjunto $[0,1]$, no es difícil encontrar una biyección desde $ (0,1) $ a $ mathbb R $, por lo que la definición dice que tienen el mismo tamaño. Hay otro teorema que dice que si agregamos un número finito de elementos a un conjunto infinito, entonces no cambiamos su cardinalidad. Por lo tanto, $ mathbb R $ y $[0,1]$ tienen la misma cardinalidad.
En cuanto a los libros, sugeriría Pruebas matemáticas, por Gary Chartrand.
$ ^ ast $ Gracias a Todd Wilcox por la redacción revisada aquí.
Una vez que determinamos que la noción de correspondencia uno a uno define una noción significativa (a la que nos referimos como “cardinalidad”), entonces tiene sentido determinar las consecuencias. Una de las consecuencias de esta definición es que dos conjuntos pueden tener el mismo tamaño incluso si uno está contenido correctamente en el otro. Si no te gusta, es una lástima. Por supuesto, hay conceptos distintos pero relacionados que puede aprender, como medida o densidad, pero eso no cambia el hecho de que la cardinalidad es una noción significativa que captura una intuición importante. Si cree que una prueba de que un conjunto tiene “tantos” elementos como otro conjunto es incompleta, entonces el problema es que el matemático interpreta “tantos como” en términos de correspondencia uno a uno mientras que usted no.
Volvamos a la idea misma de contar. El punto es que diferentes conjuntos pueden ser “iguales” de cierta manera incluso si tienen elementos de apariencia muy diferente. La forma de “olvidar” cómo se ven los elementos al determinar si dos conjuntos tienen el mismo “tamaño” es hablar de algo que no depende de cómo se etiqueten los elementos, en otras palabras, algo que no depende de reetiquetar elementos, en otras palabras, algo que prescribe que dos conjuntos tienen el mismo tamaño siempre que haya una correspondencia uno a uno entre ellos. Esta es una forma importante de generalizar la intuición de contar desde conjuntos finitos hasta conjuntos infinitos.
Si quieres pensarlo geométricamente, imagina puntos en el espacio. Si dos conjuntos de puntos tienen “el mismo número” de puntos, no debería cambiar si movemos los puntos. Ahora considere los puntos en las coordenadas enteras $ dots, -2, -1,0,2,1, dots $ en la recta numérica. Luego, amplíe mentalmente en un factor de $ 2 $ para que ahora el “mismo” conjunto de puntos resida como doble coordenadas enteras $ dots, -4, -2,0,2,4, dots $. ¡Hacer zoom no debería cambiar el número de puntos! Ahora, si toma todos los puntos a la izquierda de $ 0 $, los desplaza hacia la derecha $ 1 $ y luego los gira (digamos en un plano 2D ambiental) hacia el lado positivo de la recta numérica, terminará con puntos en un número entero coordenadas $ 0,1,2, dots $. Así es como imagino mentalmente las biyecciones entre conjuntos contables.
Cuando pasamos de conjuntos finitos a infinitos, muchos aspectos de nuestra intuición se rompen y necesitan ser actualizados. Definimos cardinalidad por la existencia o no de una biyección. Si hay una biyección entre dos conjuntos, tienen la misma cardinalidad. Si no, el que se puede inyectar en el otro es más pequeño. Cuando haces esto, todos los subconjuntos infinitos de los naturales tienen la misma cardinalidad, al igual que los racionales. Los reales son estrictamente mayores, la prueba diagonal de Cantor lo muestra. No decimos que todos los conjuntos mayores que los naturales tengan la misma cardinalidad. La prueba diagonal de Cantor se puede usar para mostrar que el número de subconjuntos de cualquier conjunto es mayor que el número de elementos del conjunto, por lo que el número de conjuntos de reales es mayor que el número de reales. Entonces los conjuntos de conjuntos de reales son aún mayores. Es una torre que llega inimaginablemente lejos, pero para la mayoría de las matemáticas no necesitamos muchas de ellas. Para una introducción semi-técnica, me gusta Rudy Rucker, Infinity and the Mind.
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