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Solución:
Esta es una muy buena pregunta, porque nos gusta pensar en los espectrómetros como cajas negras, y de hecho, visto desde el exterior, solo entran dos pulsos claramente separados, entonces, ¿cómo logran interferir? La respuesta es más clara al darle la vuelta a la paradoja: haga lo que esté haciendo el interferómetro, debe combinar coherentemente las señales de los dos pulsos y manipularlas de manera que coincidan en el espacio y el tiempo.
Hay una forma clara y fundamental de ver que los pulsos simplemente no están tan claramente separados como cree. Como bien notará, si los pulsos están separados en el tiempo por un retraso $ T $, el espectro oscilará con una separación de cresta a cresta de $ 1 / T $. Sin embargo, para poder ver esta interferencia, debe muestrear en el espacio de frecuencia a una resolución más alta, es decir, su espectrómetro debe poder distinguir entre señales que están separadas por $ frac 1 2T $ en frecuencia .
En particular, eso significa que las observaciones deben tomar al menos un tiempo de $ 2T $, para cumplir con el teorema del ancho de banda de tiempo: su espectrómetro debe interactuar con los pulsos, de una manera coherente, al menos durante ese tiempo. Esto significa que lo que pensaba que era una separación larga entre los pulsos no es tan larga en absoluto, y en lo que respecta al espectrómetro, en realidad están dentro del mismo intervalo de tiempo.
Ir más allá de este tipo de observación fundamental es un poco difícil, porque el término “espectrómetro” es espectacularmente amplio, y cubre un abanico enorme de dispositivos que interactúan con la señal de diferentes formas, y cada uno de ellos cumplirá con este largo fundamental. requisito de coherencia-tiempo de diferentes maneras. (De hecho, ha dejado en claro que está pensando en la luz, pero la misma paradoja se aplica, por ejemplo, a la RF en un cable oa las ondas de presión en una tubería, por lo que la respuesta también debe aplicarse a esos contextos).
Sin embargo, es muy, muy difícil pensar en esto en términos generales abstractos, así que permítanme ejemplificar esto con un par de ejemplos, uno de ellos relativamente general y otro más específico para la luz.
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Para comenzar, permítanme producir un modelo abstracto de un espectrómetro, que tiene la tarea de medir el espectro de potencia de una señal $ f (t) $ a una frecuencia discreta muestreando $ nu_1, cdots, nu_N $ separados uniformemente por un espaciado $ delta nu $.
Haré esto de manera abstracta, acoplando mi señal a un grupo de osciladores armónicos amortiguados con esas frecuencias resonantes, con un gráfico que se parece más o menos a esto:
Cada oscilador puede tomar su señal de diferentes puntos a lo largo de la tubería, o todos en el mismo punto. Para simplificar, suponga que cada acoplamiento tiene un efecto insignificante en la señal.
Cada uno de estos osciladores tiene una ecuación de movimiento del tipo $ ddot x_i + gamma dot x_i + (2 pi nu_i) ^ 2 x_i = f (t) $, y cada uno responderá de manera resonante a las señales en la frecuencia $ nu_i $ o dentro de un ancho de banda $ sim gamma $ del mismo. Aquí $ gamma $ se elige para que sea ‘pequeño’, lo que significa que debe ser del orden de $ delta nu $, o un poco más pequeño.
Además de esto, hay otro ingrediente crucial para obtener la resolución espectral requerida, y es el requisito de que el tiempo de observación $ tau $ sea mayor que $ 1 / delta nu $. Si no hace esto, se está engañando a sí mismo diciendo que ha alcanzado la resolución que deseaba, y hay una manera fácil de ver esto: simplemente alimente el sistema con una señal de ancho de banda estrecho $ f (t) = sin ( 2 pi nu_j t) $, y tome su medida en $ nu_i $ para que sea la amplitud de $ x_i $ después de un tiempo $ tau $ que sea menor que $ 1 / delta nu $ (y por lo tanto también menor que $ 1 / gamma $).
Si hace esto, la señal sangrará: los osciladores vecinos, en $ nu_ i pm 1 $, no deberían ser resonantes, pero no han tenido tiempo para la amplitud acumulada en la primera mitad de la medición. ventana para cancelar con la amplitud de más adelante, por lo que tendrá un $ x_ i pm 1 $ distinto de cero y concluirá erróneamente que su señal tenía una amplitud en $ nu_ i pm 1 $, que obviamente no es que querías.
El procedimiento experimental, por lo tanto, requiere que dejes pasar tu primer pulso, e incluso si ya ha interactuado con todos los $ x_i $ y salió del dispositivo, hay una memoria coherente almacenada en tu colección de osciladores, y estás requerido esperar un tiempo $ tau> T $ para poder reclamar una mejor resolución espectral que $ 1 / T $.
Si aparece un segundo pulso dentro de esa ventana de medición, entonces su contribución al $ x_i $ se sumará coherentemente con la amplitud que ya tienen. De hecho, interferirá con él de manera constructiva o destructiva de una manera que depende de la fase que $ x_i $ hayan acumulado durante el período entre pulsos, dando lugar directamente al espectro de interferencia que traza.
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Está bien, está bien, pero hagámoslo un poco más explícito hablando de la luz. Permítanme tomar prestado este esquema como un espectrómetro óptico representativo:
Este espectrómetro funciona tomando nuestra señal como una fuente de un solo punto y colimando con un espejo, luego pasándola a través de una rejilla y luego usando un segundo espejo para enfocar el arco iris resultante en el detector. En esta imagen simplificada, es muy similar a la mayoría de los espectrómetros ópticos que existen, y lo que sigue se aplica de manera muy amplia a esa clase.
Desafortunadamente, hay algo que tiende a perderse cuando la gente discute esta imagen, al menos en el nivel de los libros de texto de introducción a la óptica, y es el hecho de que este tipo de configuración tiende a jugar con los detalles temporales de los pulsos. Esto normalmente se descarta porque no importa cuándo todo lo que desea es comprender la óptica del espectro. Sin embargo, cuando queremos ver la interferencia entre pulsos separados temporalmente, obviamente es importante.
Para ver de qué estoy hablando, considere el camino tomado por el componente de luz roja en los dos rayos que pasan por los extremos de la rejilla:
Lo que hay que notar aquí es que las dos longitudes de ruta son diferentes, siendo la ruta de la izquierda más larga. El punto marca el lugar en ese camino donde tiene la misma longitud que el camino de la derecha.
Esta es la información crucial, porque significa que incluso si comienzo con un pulso que está localizado en el tiempo, se estirará en el tiempo cuando llega al detector, porque diferentes partes de la señal para el píxel del detector rojo atraviesan diferentes longitudes de trayectoria.
Para ver esto un poco más claramente, permítanme dibujar algunas superficies de igual tiempo para los diferentes rayos involucrados:
Aquí estoy trazando círculos a la misma distancia de la fuente que corresponden a los rayos que atraviesan los dos extremos de la rejilla de difracción, un par justo antes del espejo y un par justo antes del detector. Como puede ver, los rayos que pasan por la derecha de la rejilla de difracción llegan significativamente antes que los rayos que pasan por la izquierda de la rejilla.
Esto, a su vez, tiene un fuerte efecto sobre la forma del pulso. Para ver esto, permítanme completar la región entre estas superficies con luz del color correspondiente:
(Solo para aclarar, esto es simplemente un relleno lineal de las diferentes longitudes de onda, que en esencia ignora la curvatura del espejo colimador). Si luego empuja esto un poco más hacia adelante, puede obtener la evolución temporal completa del pulso. a través del espectrómetro:
Cuaderno de Mathematica utilizado para producir esta animación disponible a través de Importar[“http://goo.gl/NaH6rM”][“http://i.stack.imgur.com/DxUGm.png”]
Es importante señalar que, de hecho, así es como se verá el pulso espacialmente, en el régimen en el que comienzas con un pulso muy corto. En ese caso, digamos, si su pulso dura 10 fs y, por lo tanto, tiene un ancho espacial original de 3 mm, el tamaño espacial real de su pulso en el diagrama anterior estará en el rango de varios centímetros, por lo que su pulso se ha estirado significativamente. (Si su pulso es mucho más largo que el original, por supuesto, esto representará una mancha).
Vemos, entonces, que el pulso se ha estirado espacialmente bastante. La siguiente pregunta es, por supuesto, ¿cuánto se ha estirado? Debe quedar claro a partir de los diagramas que la cantidad de estiramiento aumenta con el ancho de la rejilla, y que para rejillas más anchas, el pulso se estirará temporalmente cada vez más.
Esto se vuelve aún más relevante cuando se considera la razón principal por la que querríamos una rejilla más amplia en nuestro espectrómetro, que es para obtener una mejor resolución de longitud de onda. En otras palabras, si desea medir con una resolución de frecuencia más fina, debe usar mediciones que tomen más y más tiempo y … bueno, ¡hola, principio de incertidumbre!
Ahora puede ver a dónde va esto: si desea un espectrómetro con suficiente resolución para resolver la interferencia $ sim 1 / T $ entre sus dos pulsos, entonces el espectrómetro necesariamente estirará los pulsos en una cantidad mayor que la interferencia -separación de pulsos $ T $. Esto significa entonces que dentro del espectrómetro los dos pulsos hacer coinciden tanto en el espacio como en el tiempo, y es perfectamente razonable que interfieran, en la zona, en cada píxel del detector CCD.
Bastante ordenado, ¿eh?
Al final de la web puedes encontrar las interpretaciones de otros programadores, tú igualmente tienes la habilidad mostrar el tuyo si lo crees conveniente.