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¿Por qué existen funciones no integrables?

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Solución:

Dos razones:

1) No todas las funciones integrables son diferenciables, no todas las funciones diferenciables son suaves (es decir, tienen derivadas de todos los órdenes, lo cual es necesario para que exista la serie), y no todas las funciones suaves convergen a su serie de Taylor. El ejemplo canónico para este último es $f(x) = e^-1/x^2$ (con $f(0) = 0$), que es suave con $f^(n)(0 ) = 0$ para todos los $n$ y, por lo tanto, tiene una serie de Taylor alrededor de $0$ que es exactamente $0$.

2) Una serie de Taylor arbitraria no es un polinomio ni tampoco una función elemental. Toma $operatornameerf(x) = frac2sqrtpiint_0^x dt; e^-t^2$, por ejemplo, o $Gamma(x) = int_0^infty dt;t^x-1e^-t$.

Porque una expansión de Taylor de una función en general no es finita y una suma infinita de polinomios no siempre se puede expresar como una combinación finita de funciones elementales.

¿Por qué existen funciones no integrables?

Míralo de esta manera: la inversa de una función elemental no siempre es elemental, entonces, ¿por qué su antiderivada debería serlo? Entonces, si acepta el hecho de que $f(x)=x+sin x$ es elemental, pero $f^-1(x)$ no lo es, también debe aceptar el hecho de que, aunque $g( x)=e^-x^2$ es elemental, su antiderivada no lo es.

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