Solución:
Tu sospecha sobre el producto interior es totalmente correcta. Se sabe que los polinomios trigonométicos $ { sin (nx), cos (mx) } $ (posiblemente traducidos y escalados) forman un sistema ortogonal con respecto al producto escalar dado por $ langle f, g rangle: = int fg $, y si elige el espacio de funciones correctamente (generalmente se usa un espacio llamado $ L ^ 2 $) y usa factores normativos elegidos correctamente, entonces se puede demostrar que realmente forman un sistema ortonormal completo $ e_k $, que simplemente significa que puede expresar cualquier función en ese espacio como $$ f = sum_k langle f, e_k rangle e_k $$ (donde la convergencia debe entenderse en ese espacio con la norma derivada del producto escalar). Los coeficientes en esa suma son lo que está viendo. Es posible que conozca ese tipo de representación del caso de dimensión finita.
Deliberadamente no especifiqué las constantes que hacen que el sistema ortogonal sea ortonormal, ni un intervalo como dominio de definición; por traducción y escala, puede hacer algo así en cualquier intervalo acotado en $ mathbb {R} $ También hay un complejo versión de esta, en cuyo caso se usaría el producto escalar $ int f bar {g} $, y $ {e ^ {ikx} } $ como sistema ortogonal.
Si desea buscar los detalles, la mayoría de las introducciones al análisis real tendrán una sección sobre ese tema. Los libros de Rudin, por ejemplo, explican esto.
Podría ser útil dividir esto en pasos más pequeños.
begin {align *} & V_0 (y) = sum_ {n = 1} ^ { infty} C_n sin left ( frac {n pi y} {a} right) \ implica & V_0 ( y) sin left ( frac {n ‘ pi y} {a} right) = sum_ {n = 1} ^ { infty} C_n sin left ( frac {n pi y} { a} right) sin left ( frac {n ‘ pi y} {a} right) \ implica & int_0 ^ a V_0 (y) sin left ( frac {n’ pi y} {a} right) , dy = sum_ {n = 1} ^ { infty} C_n int_0 ^ a sin left ( frac {n pi y} {a} right) sin left ( frac {n ‘ pi y} {a} right) , dy = frac {a} {2} C_ {n’}. end {alinear *}
Ahora resolvemos $ C_ {n ‘} $ para obtener begin {ecuación *} C_ {n’} = frac {2} {a} int_0 ^ a V_0 (y) sin left ( frac {n ‘ pi y} {a} right) , dy. end {ecuación *}