Este grupo de redactores ha estado mucho tiempo investigando la resolución a tu pregunta, te ofrecemos la respuesta y nuestro objetivo es servirte de gran apoyo.
Solución:
La respuesta corta es que la aproximación de Poisson es más rápida y fácil de calcular y razonar, y entre otras cosas le dice aproximadamente qué tan grande es la respuesta exacta.
Aquí hay un ejemplo simple: suponga que está tratando de que suceda algo en un videojuego que es raro; tal vez suceda el 1% de las veces que haces algo, de forma independiente. Le gustaría saber qué tan probable es que suceda al menos una vez si lo intenta, digamos, 100 veces. Aquí tenemos $ p = frac 1 100, n = 100 $ y así la distribución binomial nos da una respuesta exacta, a saber
$$ 1 – left (1 – frac 1 100 right) ^ 100. $$
Pero, ¿qué tan grande es esto? ¿Sabes de la parte superior de tu cabeza? ¿Es, digamos, mayor o menor al 50%?
La aproximación de Poisson responde a esta pregunta rápida y fácilmente: en este caso especial, equivale a la aproximación
$$ left (1 – frac 1 100 right) ^ 100 approx e ^ – 1 approx 0.368 dots $$
lo que da
$$ 1 – left (1 – frac 1 100 right) ^ 100 approx 1 – e ^ – 1 approx 0.632 dots $$
así que obtenemos que las probabilidades son aproximadamente del 63% de que tengamos éxito al menos una vez, que es mayor que el 50%, pero quizás menor de lo que podría esperar.
También aprendemos algo más: la aproximación de Poisson nos dice de manera más general que las probabilidades de éxito son aproximadamente una función del producto $ np = lambda $ solo (que es el número esperado de éxitos), de modo que, por ejemplo, si tuviéramos $ p = frac 1 1000 $ y $ n = 1000 $ la respuesta aún sería alrededor del 63%. Esta es información valiosa y no del todo obvia a partir de la respuesta exacta, y saberla le evita tener que volver a calcular un montón de binomios.
Algunas veces $ n $ puede ser lo suficientemente grande como para que en realidad no sea factible calcular la respuesta binomial exacta. Por ejemplo, suponga $ n = 10 ^ 25, p = 10 ^ – 25 $; números tan grandes aparecen regularmente en física o química, ya que el número de Avogadro es tan grande. Puedo decir con seguridad que la respuesta sigue siendo de alrededor del 63% a pesar de que ya no es factible calcular exactamente $ (1 – p) ^ n $ (¡solo inténtalo!). Lo curioso aquí es que cuanto más grande $ n $ se vuelve más difícil calcular exactamente los binomios, pero más precisa se vuelve la aproximación de Poisson; para números tan grandes, es básicamente exacto para todos los efectos.
Una de las razones más comunes para usar una distribución de Poisson es cuando realmente no tienes una buena suposición de qué $ n $ es exactamente (aunque está seguro de que es grande); para ser precisos, una distribución de Poisson se puede describir de la siguiente manera:
La distribución de Poisson de la tasa $ lambda $ es el límite de las distribuciones binomiales con $ n $ ensayos y una expectativa de $ lambda $ éxitos.
Esto es más relevante cuando desea medir una idea de eventos que ocurren independientemente de algún tipo de fuente continua de posibilidades independientes. Tal vez nunca llegues al true límite en realidad, pero cosas como:
¿Cuántos neutrinos detecto en una hora en mi piscina gigante de agua?
es exactamente el tipo de escenario en el que no hay mucho mejor que una distribución de Poisson (podríamos estar hablando de mil millones de billones de posibilidades para detectar algo, pero con muchos menos éxitos) y no sabemos exactamente cuántos esperar de todos modos. Del mismo modo, otras preguntas como “cuántas gotas de lluvia caen en un terreno” o incluso “cuántos clientes responden a una valla publicitaria” se enmarcan en este caso en el que, bueno, la intuición es básicamente que hay tantas posibilidades de éxito. que también podemos modelarlo como un proceso continuo en lugar de como uno discreto para algunos grandes $ n $.
Dicho de otro modo: la distribución de Poisson tiene alguna interpretación abstracta debido al límite y hay escenarios en los que esa abstracción parecería ser un modelo apropiado. No se trata de aproximarnos a algo para lo que sabemos la respuesta exacta, sino de modelar algo para lo que no había una respuesta exacta para empezar.
Si desea razones matemáticas más puras, la distribución de Poisson tiene buenas propiedades; por ejemplo, si agrega dos variables aleatorias distribuidas de Poisson independientes juntas, obtiene otra variable de Poisson, que no es true de distribuciones binomiales, que se relaciona con el hecho de que la función generadora $ mathbb E[X^k]PS dónde $ k $ se distribuye por la distribución de Poisson es solo $ e ^ lambda (X – 1) $, que es tan agradable como se puede esperar que sea una función generadora.
También puede comprobar que la convergencia de distribuciones binomiales a la distribución de Poisson es bastante rápida; la probabilidad de que una distribución binomial sea igual a $ k $ es
$$ frac n cdot (n-1) cdot (n-2) cdots (n-k + 1) k! cdot lambda ^ k cdot left (1- frac lambda n right) ^ nk $$
donde la distribución de Poisson es
$$ frac lambda ^ k k! cdot left (1- frac lambda n right) ^ n. $$
La diferencia de estas cosas disminuye en proporción a $ 1 / n $ para cualquier fijo $ k $ – lo que significa que en realidad es una buena aproximación para grandes $ n $.
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