Solución:
Se pueden dar muchos ejemplos de dónde aspectos específicos de la teoría de la representación son útiles en física (vea las otras respuestas actuales a esta pregunta) pero el hecho es simplemente que no se puede hacer física sin tener representaciones, ya sea que las llame así o no. :
No piense en las representaciones como “un grupo y un grupo diferente”. Incluso las representaciones fieles (pero diferentes) son relevantes. Una representación es una par – consta de un espacio vectorial $ V_ rho $ y un mapa de representación $ rho: G to mathrm GL (V_ rho) $ que reprime la estructura del grupo, es decir, es un homomorfismo de grupo. Sin representación, el grupo $ G $ permanece abstracto y actúa sobre nada.
Siempre que hacemos una pregunta como “¿Cómo se transforma X bajo rotaciones?” (o con “rotaciones” reemplazadas por cualquier otra transformación), esto es – si X vive en un espacio vectorial, como ocurre a menudo, por ejemplo, cuando es cualquier tipo de número o array de números, lo mismo que preguntar “¿En qué representación de $ mathrm SO (3) $ (el grupo de rotación) hace $ X $ ¿transformar? “. No se pueden tener transformaciones que formen un grupo que actúe sobre vectores sin tener representaciones. La mayor parte de la física es literalmente imposible de hacer sin tener una representación en alguna parte, ya que las ideas de transformaciones y simetrías son fundamentales para todos los campos de la física. como “Si multiplico X e Y, ¿cómo se transforma su producto?” son tan naturales que es casi inevitable tener más de una representación.
También podrías preguntar “¿Por qué son importantes los grupos?”, Porque sin sus representaciones, los grupos no son muy interesantes desde una perspectiva física (esto, casualmente, es la razón por la que a menudo oirás a los físicos decir “teoría de grupos” a lo que los matemáticos considerarían la “teoría de la representación”).
1) Los estados físicos de una teoría (las ‘partículas’, por así decirlo), se encuentran en un espacio vectorial $ mathcal H $– el espacio de Hilbert de la teoría. Esta es la mecánica cuántica.
2) La noción de estado físico $ | k rangle $ evolucionando hacia otro estado físico $ | k ‘ rangle $ se puede implementar mediante un operador lineal en $ mathcal H $ que lleva al primero al segundo. Este es un operador concreto (una matriz, por así decirlo), que de alguna manera está “aplicando” una transformación abstracta a estos vectores.
3) Se sabe que tales transformaciones tienen una estructura de grupo; las transformaciones de Lorentz, por ejemplo, son $ SO (3,1) $. Pero en esta etapa, no tenemos una manera de “aplicar” concretamente estos elementos de grupo en un espacio vectorial. Lo que necesitamos es un mapa del grupo a los operadores en un espacio vectorial, de tal manera que el mapa conserva la estructura de composición del grupo (esto es lo que significa el homomorfismo).
4) Esto es exactamente lo que es una representación. Por ejemplo, considere las rotaciones en un plano. El grupo aquí, es sólo un abstracto conjunto que se puede etiquetar por elementos $ theta $, siguiendo leyes de composición como $ theta_1 cdot theta_2 = theta_1 + theta_2 $. Aún no hemos dicho lo que estos $ theta $ son-además, no está claro cómo se supone que uno los ACTÚA en un vector que desea rotar. Es solo un símbolo abstracto.
5) Entonces buscamos hormigón cantidades que ‘se comportan’ exactamente como el abstracto $ theta $. Un ejemplo es el $ 2 times2 $ matriz de rotación. Esto ahora nos permitirá “aplicar” el comportamiento de nuestro grupo a los vectores. Otro punto crucial: cuando decimos ‘vectores’, implícitamente nos referimos al espacio vectorial $ R ^ 2 $. ¿Hay alguna manera de implementar este grupo en vectores en $ R ^ 3 $? ¿Un espacio vectorial arbitrario?
6) Entonces nos damos cuenta de que no es suficiente definir el mapa a los operadores, debemos definir simultáneamente el espacio vectorial sobre el que actúan estos operadores. Esto equivale a elegir nuestro espacio Hilbert. El grupo, en general, actuará en diferente formas sobre diferente espacios vectoriales-hay diferentes representaciones del grupo.
7) En física de partículas, partículas elementales son sinónimos de representaciones (unitarias irreductibles) el grupo de Poincaré. Esta es la razón por la que los fotones son diferentes de los electrones: se transforman bajo diferentes representaciones, de la mismo grupo. Las leyes que gobiernan sus transformaciones son las mismas -las transformaciones de Lorentz- excepto que se implementan de diferentes maneras.
8) Como acotación al margen, en caso de que parezca que hay muchas conjeturas, estas representaciones se obtienen observando los valores propios de una cantidad llamada Casimir del álgebra correspondiente al grupo. Por supuesto, cuál de estos se realiza físicamente es un asunto diferente.
Ver primero todo en términos de morfismo es formalmente correcto, pero no es necesario para comprender la idea básica: uno comienza con un conjunto abstracto de operaciones y representa este conjunto de forma explícita (en física, normalmente mediante matrices), manteniendo la relación entre los elementos abstractos. Por lo tanto, la multiplicación de las matrices asociadas con dos elementos del grupo producirá la matriz del tercer elemento correcto de un grupo: $ Gamma (a) Gamma (b) = Gamma (c) $ si $ a cdot b = c $ y $ Gamma $ es la representación. Tenga en cuenta que los matemáticos hacen una diferencia entre representaciones, módulos y otros términos técnicos que los físicos agrupan en un ligero abuso de notación (no se necesita distinción en la mayoría casos).
Hay varias (a veces infinitas) representaciones para (los elementos de) un grupo y, en física, la mayoría de las veces tratamos con representaciones matriciales. Estrechamente relacionadas están las representaciones del álgebra de un grupo continuo, y lo vemos con más frecuencia en física.
Los ejemplos más simples son representaciones de dimensión. $ 2j + 1 $ de los operadores de momento angular, o alternativamente representaciones de dimensión $ 2j + 1 $ de $ mathfrak su (2) $. La conexión entre el álgebra $ mathfrak su (2) $ y el grupo $ SU (2) $ es mediante exponenciación.
Así, las matrices de Pauli son una representación bidimensional de $ mathfrak su (2) $. A nivel del álgebra, el $ 2 veces 2 $ matrices para $ sigma_ x, y, z $ tienen el mismo conmutador (matriz) que los elementos abstractos. Por supuesto, es posible construir $ 3 veces 3 $ matrices para operadores de momento angular, que todavía tienen los conmutadores (matrices) correctos. Esos son dos desigual representaciones: no es posible pasar de una a otra mediante una transformación de similitud (obvio ya que son de diferentes dimensiones).
Los bloques básicos son irreducible representaciones, una para la cual ninguna transformación de similitud traerá simultáneamente una representación de todos los elementos a una forma diagonal de bloque. Dado que prácticamente todas las representaciones en física pueden escribirse en términos de bits irreductibles, los irreducibles funcionan como representaciones “elementales”.
Una razón por la que usamos esto es para bloquear en diagonal el espacio de estados de Hilbert. Si uno tiene un $ SO (3) $-operador invariante, no puede conectar bloques con diferentes $ j $ valores. Así se puede trabajar dentro de cada representación y, en general, dentro de un subespacio más pequeño.
Otra razón es que las propiedades del grupo imponen restricciones a las representaciones. Los elementos de la matriz de $ hat L_ x, y, z $ por ejemplo, no son números aleatorios, pero deben ser de modo que las matrices produzcan las relaciones de conmutación correctas. En particular ellos debe todos tienen los mismos valores propios. La teoría de grupos de esta manera es una forma poderosa de relacionar cantidades relacionadas por algunas operaciones de simetría.
Aquí puedes ver las reseñas y valoraciones de los usuarios
Eres capaz de añadir valor a nuestra información participando con tu experiencia en las aclaraciones.