Solución:
La derivada tiene muchas aplicaciones importantes, tanto desde el cálculo elemental hasta el cálculo multivariado, y mucho más.
La derivada explica la tasa de cambio instantánea, pero otras derivadas pueden indicar la aceleración, entre otras cosas.
Con la optimización, la derivada puede decirnos dónde está el mejor lugar para sentarse en una habitación, si la habitación se está llenando de humo y a qué hora es mejor sentarse allí. La derivada puede ayudar con muchos problemas de optimización.
La derivada parcial nos dice la dirección de las variables en un momento dado y la derivada total nos dice dónde aumenta más la pendiente y dónde. Esta es una forma en que podemos optimizar en $ mathbb {R} ^ 3 $. La derivada se puede aplicar al flujo de agua y generalmente nos dice mucho sobre cómo cambian las cosas con respecto a otra variable.
Además, el derivado puede ayudar en la industria con la economía, la atención médica, la ingeniería (especialmente) y muchas otras cosas. Los negocios también tienen muchas aplicaciones. Es posible que su profesor no tenga tiempo para profundizar en estas aplicaciones tanto como le gustaría porque es un cálculo clase, no una clase de “aplicación de la derivada”. Aunque, debería definitivamente discutir estos temas en algún momento. He tenido algunos profesores en mi tiempo que pasaron por alto estos temas, pero en el cálculo multivariable, profundizan mucho más en ellos. No sugiero cambiar de especialización sin hablar directamente con su profesor sobre sus dificultades.
Si tiene más preguntas, le animo a pedir su profesor en horario de oficina la misma pregunta exacta y expresar sus preocupaciones allí. Un buen profesor fomentará y motivará tu aprendizaje fuera del aula si muestras iniciativa y preguntas.
Voy a tomar un rumbo ligeramente diferente a la mayoría de las otras respuestas aquí y señalar que “importante” (la palabra utilizada en el título de la pregunta) y “útil” (la palabra utilizada en el cuerpo) no son exactamente sinónimos. Algo puede ser importante de diferentes formas:
- Puede ser importante porque es útil para resolver problemas prácticos de palabras reales
- Puede ser importante porque es útil para resolver problemas teóricos no aplicados
- Puede ser importante para histórico razones
- Puede ser importante porque es sorprendente o contradictorio
- Puede ser importante porque ilumina un misterio
Muchos de estos podrían resumirse diciendo que algo es “interesante”. Pienso en “interesante” y “útil” como ejes ortogonales de valor, en el sentido de que son dos formas completamente independientes de decir por qué vale la pena conocer algo.
La mayoría de los matemáticos, me atrevería a decir, están motivados por cosas distintas de las “aplicaciones prácticas”. (Algunos incluso desprecian activamente las aplicaciones, aunque yo no voy tan lejos). Según la tradición, cuando se le preguntó a Euclides “¿Por qué es esto útil?”, Respondió con sarcasmo.
“Dale tres peniques [lit: a three-obol piece], ya que debe sacar provecho de lo que aprende “.
La derivada, y el cálculo en general, es importante e interesante en muchos de los sentidos anteriores, aparte de las aplicaciones prácticas (que, debe decirse, son extremadamente abundante). Desde los días de los antiguos griegos hasta la época de Newton y Leibniz, los filósofos lucharon por comprender la naturaleza del movimiento en sí, que muchos de ellos consideraban fundamentalmente paradójico: si, en un momento dado, transcurre el tiempo cero, y por lo tanto en cualquier momento. En un momento dado, la posición de un objeto no cambia: ¿cómo es posible el movimiento? De manera más general, ¿cómo obtenemos la experiencia de un cambio suave y continuo a partir de una secuencia de infinitos puntos distintos en el tiempo? (La versión geométrica de esto es: si un punto tiene tamaño cero y una línea es solo un conjunto de puntos, ¿cómo tienen tamaño las líneas?)
La gente ha pensado que estas preguntas son interesantes para siglos porque se rascan la cabeza. Llevan a uno a reflexionar sobre los infinitos, los infinitamente pequeños y las formas en que los infinitos pueden equilibrarse entre sí para producir cantidades finitas. Esas cosas son frio, y Calculus proporciona un conjunto de técnicas para descifrarlo y un lenguaje para hablarlo de manera coherente.
Una vez que lo formalizas, las derivadas también te permiten descubrir cosas que son genuinamente sorprendentes, por ejemplo, que es posible tener una curva que sea continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte. (Esa afirmación ni siquiera hace sentido sin derivadas, pero si entiendes las derivadas, puedes comenzar a apreciar cuán absolutamente desconcertante y nada intuitiva debe ser tal cosa). humano. Yo diría que eso es bastante importante, sea o no “útil”.
La derivada mide localmente cuánto extiende una función su dominio en un punto. Si es negativo, hay tanto estiramiento como inversión de dirección.