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Solución:
Los físicos podrían usar infinitesimales como en la siguiente derivación de la regla del producto:
$$beginalign f(x+dx)g(x+dx) &= left(f(x)+ f^prime(x)dxright) cdot left(g(x)+ g^prime(x)dxright) \ &= f(x)g(x)+ f^prime(x)g(x) dx + f(x)g^prime(x) dx + f^prime(x)g^prime(x) underbracedx^2_=0 \ & = f(x)g(x)+ (f^prime(x)g(x ) + f(x)g^prime(x)) dx endalinear$$
El problema es: ¿Qué es $dx$? Aquí obtendrá normalmente la respuesta de que $dx$ es un infinitesimal, es decir, un número que no es cero y con una distancia desde cero menor que cada número racional $qinmathbb Q^+$. Pero hay algunos problemas con esta explicación:
- $dx$ se usa principalmente como un número real ordinario. Uno construye fracciones como $tfracdydx$ y calcula con esos objetos como si fueran fracciones reales. Pero si piensas cómo se usa $dx$, sería un número extraño. Cuando escribo $dx^2=0$ uso $dx$ como si fuera cero. Uno del otro lado $dx$ puede ocurrir en el denominador de una fracción, que solo se permite para $dxneq 0$. Entonces, a veces, $dx$ se comporta como 0 y, a veces, como un número distinto de cero.
- Debido a la propiedad de Arquímedes, no existe un número real que satisfaga las propiedades de $dx$. Entonces, si el sistema numérico que usa es $mathbb R$, el objeto $dx$ no puede ser un número. Debido a que la propiedad de Arquímedes es un axioma del análisis contemporáneo y esta teoría no tiene otro concepto para los infinitesimales, no se puede usar $dx$ en el análisis actual.
- Normalmente nadie da una definición matemática rigurosa de $dx$ cuando se usa en un curso de física. Entonces la pregunta sigue siendo: ¿Qué es $dx$?
Hoy en día existen teorías matemáticas para infinitesimales: Por ejemplo, existe el análisis no estándar, donde el conjunto de números reales se expande al conjunto de números hiperreales, que contiene infinitesimales. En esta teoría se pueden hacer cálculos como en el ejemplo anterior. Entonces, es posible cancelar los diferenciales, si uno cambia la teoría subyacente del análisis contemporáneo a algo así como un análisis no estándar.
Mi opinión: No creo, que en realidad hay un problema. Normalmente los físicos tienen una buena intuición con los infinitesimales. Saben cómo pueden usarlos y qué problemas pueden ocurrir y pueden trabajar de manera efectiva con ellos. De acuerdo, sería genial si más personas estuvieran al tanto de teorías como el análisis no estándar, pero en mi opinión, uno primero tiene que aprender la intuición de un concepto antes de poder estudiar su definición rigurosa. Por ejemplo, primero calcula con números reales en la escuela y adquiere algo de intuición antes de ir a la universidad y aprender cuáles son los axiomas del sistema de números reales o cómo se pueden construir mediante cortes de Dedekind o secuencias de Cauchy.
Estoy de acuerdo con la respuesta aceptada: la notación diferencial es una herramienta muy útil para los cálculos, y en la mayoría de las situaciones donde los físicos e ingenieros la usan, todo funciona bien. Dicho esto, me gustaría señalar un caso en el que ser descuidado con la notación diferencial puede conducir a una aparente “prueba” de una false declaración. He escuchado esto atribuido a Cauchy, aunque sospecho que esta atribución es una “leyenda urbana matemática”.
Supongamos que $f_n$ es una secuencia de funciones continuas que converge a una función $f$ en $[0,1]ps Preguntamos si $f$ debe ser continuo. Nosotros escribimos
$$beginalinear |f(x+dx)-f(x)| & =|f(x+dx)-f_n(x+dx)+f_n(x+dx)-f_n(x)+f_n(x)-f(x)| \ & leq |f(x+dx)-f_n(x+dx)|+|f_n(x+dx)-f_n(x)|+|f_n(x)-f(x)| endalinear$$
Informalmente ahora pensamos en $n$ infinitamente grande e infinitamente pequeño $dx$. Entonces los tres términos deberían ser infinitamente pequeños (el primero y el tercero por la convergencia y el segundo por la continuidad). Entonces, el lado original debe ser infinitamente pequeño, y $f$ debe ser continuo.
Cuando formalizamos el argumento anterior, todo funciona siempre que $f_n$ converja uniformemente. Pero si convergen solo puntualmente, entonces esto falla: $f_n(x) = x^n$ converge para $x neq 1$ a $0$ y para $x = 1$ a $1$. Tenga en cuenta que, a diferencia de la convergencia uniforme, la convergencia puntual se puede formular razonablemente sin desarrollar el marco axiomático de análisis: todo lo que necesitamos es una forma de hablar sobre la convergencia de secuencias de números y una noción de continuidad.
El problema en el argumento cuando abordamos el problema formalmente es que necesitamos elegir un único $n$ para controlar tanto el primer como el tercer término, y solo después de hacerlo elegimos qué tan pequeño debe ser $dx$ para controlar el segundo término. Pero eso significa que elegimos $n$ antes de haber elegido $dx$, y sin convergencia uniforme podemos necesitar un $n$ más grande para controlar el primer término para nuestro $dx$ elegido.
¡Es difícil incluso describir este fenómeno en el lenguaje infinitesimal! Una forma de verlo es en el marco hiperreal: toma $N$ como un número natural infinito y $dx=1/N$. Entonces la parte estándar de $(1-dx)^N$ no es $1$, sino $e^-1$. Y ahora vemos el problema: los procesos límite $n to infty$ y $x to 1^-$ compiten entre sí, uno tratando de llevar el resultado hacia $0$ y el otro tratando de llevar el resultado hacia $1 ps Este efecto se pierde cuando decimos ingenuamente que $n$ es infinito y $dx$ es infinitesimal sin decir cómo se comparan entre sí.