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Solución:
Para tener una buena noción de “subir y bajar índices”, hay que tener una no degenerado 2-tensor. Si no es degenerado, puede enviar $v^mu$ a $v_mu=0$, en cuyo caso no puede decir que “bajar el índice y luego volver a subirlo” es como no hacer nada . Ser capaz de hacer eso es de vital importancia. Una variedad de Riemann viene, por definición, equipada con una forma bilineal no degenerada (simétrica), por lo que existe una elección canónica de noción de índices ascendentes y descendentes.
Si su colector está garantizado para llevar otro 2-tensores no degenerados, entonces también puede usarlos para subir y bajar índices (aunque el significado es diferente al de subir y bajar con la métrica). Este es el caso, por ejemplo, si su variedad es simpléctica (es decir, lleva un $omega$ de 2 formas cerrado y no degenerado).
es una convención$^1$. Si una teoría tiene un tensor de rango 2 invertible distinguido, ¿por qué no usarlo? Ejemplos:
- la métrica $g_munu$ en GR.
- El $epsilon_alfabeta$ métrica para aumentar y disminuir los índices de espinor de Weyl.
- La forma simpléctica de 2 $omega_IJ$ en geometría simple.
Si hay más de un tensor de rango 2 invertible distinguido, uno tendría que hacer una elección. Por ejemplo, GR bimétrico, etc.
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$^1$Más formalmente, la noción de “índices ascendentes y descendentes” refleja el isomorfismo musical. Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.
El tensor métrico se define por su capacidad para subir y bajar índices. Tome un espacio vectorial de dimensión finita, $V$, con $operatornamedimV = N$. Dado otro espacio, $W$, con dimensión $M$ puedes construir el espacio de mapas lineales entre esos espacios. Llamamos matrices a los elementos del espacio de mapas lineales y, en este ejemplo, forman un espacio vectorial que tiene $operatornamedimL : Vrightarrow W = Ntimes M$.
Si el espacio de destino tiene una dimensión $1$ (es decir, el mapa de $V$ a los escalares), entonces el espacio de los mapas tiene unas dimensiones $N$. Como aprendimos del álgebra lineal, dos espacios de dimensión finita con la misma dimensionalidad son isomorfos. Por lo tanto, podemos construir un mapa isomorfo (es decir, un mapa que es 1 a 1 y cubre el espacio objetivo) desde $V$ hasta $L$. El mapa de $V$ a $L$ se llama la métrica.
En otras palabras, cuando el índice está arriba, el vector es de $V$, cuando está abajo es de $L$ (a menudo llamado vector doble espacio).
Dejando de lado la invertibilidad, también elegimos la métrica para que tenga otras propiedades que deseamos. En particular, queremos que los escalares producidos por $g(v_1) v_2$ sean invariantes bajo algún conjunto de transformaciones (generalmente rotaciones o transformaciones de Lorentz). Esto es lo que restringe la firma métrica (patrón de signos de valores propios).
Además, no hay prueba de que $g^mu nu g_nu alpha = delta^mu_hphantommualpha$ porque esa es la definición de la métrica inversa ( el mapa de $L$ a $V$, a diferencia de lo contrario).
Sección de Reseñas y Valoraciones
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