Luego de tanto batallar hemos hallado la solución de este rompecabezas que tantos lectores de este sitio web han presentado. Si tienes algo más que compartir no dejes de compartir tu conocimiento.
Solución:
El hecho de que un ángulo no tenga dimensiones es principalmente una cuestión de convención. De hecho, puede asociar una dimensión con un ángulo y seguir siendo coherente. Sin embargo, en ese caso es necesario cambiar bastantes fórmulas conocidas.
Por ejemplo, cita la longitud del arco como $s = Rtheta$. Obviamente, esto ya no es homogéneo en dimensiones si $theta$ no es adimensional. Sin embargo, si recordamos que en realidad $s$ debe ser proporcional al ángulo $theta$, y que $s=R$ para $theta=1,mathrmrad$, concluimos que el true forma de esa relación debe ser $$s = Rfractheta1,mathrmrad.$$ (Al suponer que $mathrm1,rad = 1$ es adimensional, da la expresión original.)
Otra cosa es que ya no podemos enviar un ángulo directamente a funciones analíticas como sin, cos, exp, etc. De hecho, estas se definen convenientemente a través de una serie de potencias, por ejemplo, $$exp(x) = sum_k=0 ^inftyfracx^kk!.$$
Si $x$ tiene una dimensión, esta expresión no tiene mucho sentido. Para ser correctos, tendríamos que escribir $sin(theta/mathrmrad)$ cuando hablamos del seno de un ángulo.
Según tengo entendido, estas son algunas de las razones por las que uno decidió que es mejor dejar un ángulo sin dimensiones. Sobre todo porque los ángulos son relevantes en las matemáticas, donde, a diferencia de la física, uno normalmente no se preocupa por la dimensionalidad de las cantidades.
¿Cuáles son las ventajas de asignar una dimensión a los ángulos? En su mayoría, la dimensionalidad adicional lleva mucha más información. Considere la frecuencia $f$ y la velocidad angular $omega$. En el sistema SI ambos tienen la misma dimensión, es decir, 1/tiempo. Si el ángulo tuviera su propia dimensión, la unidad de $omega$ sería $mathrmrad/s$. ¡Podríamos diferenciar estas cantidades en función de sus unidades! Dependiendo de cómo introduzca la nueva dimensión, es posible que el par y el trabajo ya no compartan la misma unidad.
Si está interesado, aquí hay un artículo muy ameno que explica una posible forma de introducir una dimensión adicional para los ángulos.
Una cualidad adimensional es una medida sin dimensión física; un número “puro” sin unidades físicas.
Sin embargo, tales cualidades pueden medirse en términos de “unidades adimensionales”, que generalmente se definen como una relación de constantes físicas o propiedades, de modo que las dimensiones se anulan. Por lo tanto, la radián medida de ángulo como la relación entre la longitud del arco y la longitud del radio es aquella en la que las unidades de longitud se anulan.
Sí, puedes trabajar con ángulos acotados.
La fórmula para la longitud del arco es
$$l=aleftheta,$$ y que para el área de un sector
$$a=fracalephtheta r^22.$$
la constante universal $alef$ está en por unidad de ángulo, y $aleph=1 text rad^-1=0.0174533cdotstext grados^-1$.
Por ejemplo, al considerar un movimiento armónico,
$$e=Asin(alephomega t)$$ dónde $omega$ está en unidades angulares $s^-1$ y $e$ en $m$.
$$v=dot e=Aalephomega cos(alephomega t)$$ es en $ms^-1$.
Otra constante universal que vale la pena conocer:
$$Pi=3.141593cdotstext rad=180text grados.$$
denota el ángulo de apertura de un semicírculo.
cumple
$$alefPi=pi.$$
De ahí la famosa fórmula de Euler,
$$e^ialefPi=-1.$$
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