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Solución:
La fórmula del determinante no es tan misteriosa. Considere el producto cruz $mathbfv = langle a,b,c rangle times langle d,e,f rangle$ como el determinante formal
$$ det left(begin{arrayccc mathbfi & mathbfj & mathbfk\ a & b & c \ d & e & f endarray derecho) $$
donde $mathbfi, mathbfj, mathbfk$ son los vectores base estándar. Si, en cambio, uno considera $mathbfi, mathbfj, mathbfk$ como indeterminados y los sustituye por $x, y, z$, este determinante calcula el producto escalar $mathbfv cdot langle x, y, z rangle$. Pero haciendo que $langle x, y, z rangle$ sea $langle a, b, c rangle$ o $langle d, e, f rangle$ da un determinante cero, entonces $mathbfv$ es perpendicular a los dos últimos vectores, por lo tanto al plano que abarcan, como dice Omnomnomnom.
Según el Prof. Josiah Willard Gibbs, uno de los fundadores de Vector Analysis, el producto cruzado (o sesgado) se define de la siguiente manera en su folleto de 1881 Análisis vectorial – Dispuesto para el uso de estudiantes de física
Definición: El producto sesgado del vector A en el vector B es la cantidad vectorial C cuya dirección es la normal en ese lado del plano de A y B en el que la rotación de A a B en un ángulo de menos de ciento ochenta los grados aparecen positivos o en sentido contrario a las agujas del reloj; y cuya magnitud se obtiene multiplicando el producto de las magnitudes de A y B por el seno del ángulo de A a B.
Esta definición, que sale de la boca del caballo, por así decirlo, es una definición geométrica. ¿Por qué entonces, nosotros en el siglo XXI? insistimos en definirlo en términos de determinantes. La “definición” del determinante es una consecuencia directa de la definición geométrica y la distributividad de los productos cruzados.
$$vecmathbfwtimes(vecmathbfu+ vecmathbfv) = vecmathbfwtimesvec matemáticasbfu+vecmathbfwtimesvecmathbfv$$$$(vecmathbfu+ vecmathbfv)timesvecmathbfw = vecmathbfutimesvec matemáticasbfw+vecmathbfvtimesvecmathbfw$$
ahora trata de expandir
$$(a_1vecmathbfi+a_2vecmathbfj+a_3vecmathbfk)times(b_1vecmathbfi+ b_2vecmathbfj+b_3vecmathbfk)$$
para ver que los productos cruzados, de hecho, se distribuyen sobre la suma, vea una demostración geométrica en la página 9 de http://www.math.oregonstate.edu/bridge/papers/dot+cross.pdf
Mirar. No soy matemático, pero tengo una perspectiva que puede explicar por qué el producto vectorial de dos vectores es otro vector perpendicular a ellos. No es una prueba pero ayudará a que esa idea sea similar.
Uno puede entender el producto cruzado de esta manera: imagine un segmento de línea que hace marcas de colores dondequiera que se mueva en un papel. Ahora haz que se mueva en la misma dirección y la misma distancia que otro segmento, conservando la dirección del primer segmento. El resultado sería un paralelogramo con área donada por ab sin(θ) donde a y b son las longitudes de los segmentos. Entonces podemos definir el producto vectorial de dos vectores como “el área del paralelogramo en el que estos vectores son lados adyacentes”.
La primera pregunta es: ¿por qué es un vector? Imagine un plano que contiene dos vectores a y b y el ángulo de a a b es igual a θ, el producto vectorial de a y b es igual a ||a|| ||b|| sen(θ). Eso funciona bastante bien como escalar, pero el problema surge cuando volteas todo el plano que contiene los vectores, que es lo mismo que reemplazar a por b y viceversa. El ángulo de a a b se convierte en -θ, y el producto vectorial se convierte en ||a|| ||b|| sin(-θ), que es igual a -||a|| ||b|| sen(θ). Voltear el avión invierte el resultado. Entonces, el producto vectorial se puede representar como un vector con su punto de partida en el plano, que apunta “hacia arriba o hacia abajo”. Si ese vector apunta hacia arriba, apuntará hacia abajo cuando voltees el avión y viceversa.
La segunda pregunta es: ¿por qué el producto vectorial es perpendicular al plano? ¿Por qué no apunta simplemente hacia arriba o hacia abajo? Eso es porque cuando volteas el plano, el producto vectorial se invierte por completo, lo que significa que es perpendicular al plano.
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