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Solución:
Todo se reduce a un equilibrio entre una serie de interacciones físicas diferentes.
La energía de enlace de un núcleo se describe comúnmente con la fórmula de masa semiempírica:
$$E(A, Z) = a_V A – a_S A^2/3 – a_C fracZ(Z-1)A^1/3 – a_A frac(A-2Z )^2A + delta(A,Z)$$
donde $A = Z + N$ es el número total de nucleones, $Z$ el número de protones y $N$ el número de neutrones.
Los diferentes aportes tienen explicación física como:
- $a_V$ : término de volumen, cuanto mayor es el volumen, más nucleones interactúan entre sí a través de la interacción fuerte, más se atraen entre sí
- $a_S$ : término superficial, similar a la tensión superficial, algo de energía almacenada allí, reduciendo la interacción de unión
- $a_C$ : la repulsión de Coulomb de los protones dentro del núcleo
- $a_A$ : término de asimetría, enraizado en el principio de exclusión de Pauli. Básicamente, si hay más de un tipo de nucleón (generalmente de neutrones), entonces la energía total es mayor de lo necesario, lo que disminuye la energía de enlace (nota: $A-2Z = Z – N$)
- $delta$ : término de emparejamiento, depende de si hay un número par o impar de nucleones en total y un número par o impar de protones/neutrones. En la descripción empírica, generalmente se modela como una variable continua $a_P/A^1/2$.
Esta es la expresión para el total energía de enlace, lo interesante es la energía de enlace por nucleóncomo medida de estabilidad:
$$E(A, Z)/A approx a_V – a_S frac1A^1/3 – a_C fracZ(Z-1)A^4/3 – a_A frac(A-2Z)^2A^2 + a_P frac1A^3/2$$
Para ver qué núcleo (qué valor de $A$) es el más estable, hay que encontrar para qué $A$ esta función es máxima. En este punto, $Z$ es arbitrario, pero debemos elegir un valor físicamente significativo. Desde un punto de vista teórico, una buena opción es el $Z$ que da la energía de enlace más alta para un $A$ determinado (el isótopo más estable), para lo cual debemos resolver resolver $fracpartial (E/A) parcial Z = 0$. El resultado es $Z_estable(A) approx dfrac12dfracA1+A^2/3 fraca_C4 a_A$. Después de volver a colocar $Z_estable(A)$ en $E(A, Z)/A$, se puede maximizar el valor de la función para obtener el “número óptimo” de nucleones para el elemento más estable. Dependiendo de los valores determinados empíricamente de $a_S, a_C, a_A, a_P$, el máximo ocurrirá en el área $A approx 58 ldots 63$.
La interpretación de este resultado es algo así:
- por átomos pequeños (pequeño $A$) la mayor contribución es el término superficial (tienen una gran relación superficie-volumen) y quieren aumentar la cantidad de nucleones para reducirla; por lo tanto, tiene fusión
- por átomos grandes (grande $A$) el Término de Coulomb aumenta porque más protones significan más repulsión entre ellos, y también, para mantener todo junto se necesitan más neutrones (así $N gg Z$ lo que hace que el término de asimetría más grande también. Expulsando algunos nucleones (desintegración alfa), o convirtiendo entre neutrones y protones (desintegración beta), el núcleo puede reducir estos términos.
- El límite óptimo de $A$ (y $Z$) ocurre cuando estos dos grupos de contribuciones en competencia se equilibran entre sí.
La unión de los núcleos está dominada por dos fuerzas principales: la fuerza nuclear fuerte y la fuerza electromagnética. La fuerza nuclear fuerte es mucho más fuerte que la fuerza electromagnética, pero actúa en distancias mucho más cortas.
Para núcleos pequeños (por ejemplo, hidrógeno y helio), si puede agregar más nucleones, es probable que se adhieran debido a la atracción de la fuerza fuerte. Esta es la razón por la que los núcleos más pequeños tienden a fusionarse. Al unir las partículas, se obtiene una configuración de menor energía, por lo que es más estable.
Para núcleos más grandes, el tamaño del núcleo significa que las partículas de un lado no sienten una fuerte fuerza de atracción de las partículas del otro lado, pero aún sienten repulsión electromagnética (si están cargadas, es decir, protones). Esto significa que los núcleos más grandes son menos estables y pueden formar configuraciones de menor energía al dividirse en partes más pequeñas (fisión).
El hierro se encuentra en el punto medio en términos de tamaño del núcleo, donde agregar o eliminar partículas daría como resultado una configuración de mayor energía, por lo que se considera el núcleo más estable.
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