Te recomendamos que pruebes esta resolución en un entorno controlado antes de enviarlo a producción, un saludo.
Solución:
Se puede ganar algo de intuición al notar que este término aparece incluso en el caso plano si elige coordenadas curvas. Por ejemplo, en $mathbb R^2$ podría elegir un sistema de coordenadas cerca de $p$ con un aspecto similar a este:
Geométricamente, está claro que es más probable que el movimiento browniano de corta duración (definido de alguna forma invariable) que comienza en $p$ termine en la región roja. Si tuviera que definir $dX_t = sqrtg^-1 dB_t$ en estas coordenadas, las regiones azul y roja serían igualmente probables, ya que en coordenadas son solo dos lados de un eje. Por lo tanto, necesitamos algún término de deriva que empuje hacia la derecha para compensar la curvatura del sistema de coordenadas.
En la geometría diferencial estocástica, desarrollada por Meyer y expuesta por Emery en su libro, la deriva de un proceso estocástico solo puede definirse a través de una conexión afín.
Recuerde que, en geometría diferencial, las conexiones afines distinguen curvas que tienen aceleración cero o geodésicas. No tiene sentido decir que una curva es una geodésica, si no se ha especificado una conexión de antemano.
En geometría diferencial estocástica (más precisamente, en el estudio de procesos estocásticos de tiempo continuo en variedades) las conexiones afines distinguen procesos estocásticos que tienen deriva cero, o martingalas. No tiene sentido decir que un proceso es una martingala (quizás la martingala local sea más apropiada) si no se ha especificado una conexión de antemano.
Meyer estudia vectores de segundo orden en una variedad. Un vector de segundo orden es un operador diferencial de segundo orden en un punto (sin un término constante). Entonces, una conexión afín se define como un mapeo lineal de vectores de segundo orden a vectores de primer orden (que son solo nuestros vectores habituales), que es la identidad en los vectores de primer orden.
Intuitivamente, uno puede pensar en el diferencial estocástico $dX$, en un proceso estocástico $X$ en una variedad, como un vector aleatorio de segundo orden. Digamos que $Gamma$ es una conexión afín. La deriva de $X$ con respecto a $Gamma$ es igual al vector aleatorio $Gamma(dX)$. En particular, si $Gamma(dX) = 0$ entonces $X$ es una $Gamma$-martingala.
Esta definición (puede encontrar todos los cálculos en Meyer y Emery) muestra que, de hecho, una martingala en una variedad es un proceso con deriva cero. La deriva de la que hablas es un artefacto que aparece cuando se trabaja en un sistema de coordenadas general, quizás no bien elegido.
Tenga en cuenta que lo anterior solo usa una conexión afín, que no tiene que ser métrica. Una métrica riemanniana sirve para distinguir una martingala que es un movimiento browniano, pero la deriva no es una “propiedad métrica”. — Salem